수열의 귀납적 정의_난이도 중상 (2022년 5월 교육청 고3 15번)

 

 

모든 항이 실수인 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. 다음은 수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1 = 1,\; a_2=4$ 이고, $2$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$S_{n+1} = S_{n-1} + 2 \sqrt{a_n a_{n+1} +1 }$$ 을 만족시킬 때, $S_{10}$ 의 최댓값 $M$ 과 최솟값 $m$ 을 구하는 과정이다.

 

$$S_{n+1} = S_{n-1} +2 \sqrt{a_n a_{n+1} +1} \; (n \ge 2) \cdots \cdots \text{ (ㄱ) }$$ 를 $a_n$ 에 대한 식으로 정리하면 $$(a_{n+1} -a_n )^2 = \boxed{ (가) } \; ( n \ge 2)$$ 이다. 따라서 $S_{10}$ 의 값이 최대일 때는 수열 $\{a_n\}$ 이 제$2$항부터 공차가 양수인 등차수열일 때이므로 $$M=\boxed{ (나) }$$ 이다. (ㄱ)에서 $a_na_{n+1} +1 \ge 0, \;  S_{n+1}-S_{n-1} \ge 0$ 이므로 $S_{10}$ 의 값이 최소가 되도록 수열 $\{a_n\}$ 의 각 항을 나열하여 $m$ 의 값을 구하면 $$m=\boxed{ (다) }$$ 이다. 

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q, \; r$ 라 할 때, $p+q+r$ 의 값은?

 

① $117$          ② $120$          ③ $123$          ④ $126$          ⑤ $129$

 

정답 ④