중학교 복습_난이도 중상 (2019년 3월 전국연합 고1 20번)

 

 

좌표평면에서 두 이차함수 $$y=x^2-2x+1, \quad y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{2}$$ 의 그래프가 $x$ 축에 수직인 직선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$ 라 하자. 

다음은 점 $\mathrm{C}(k, \; 0)$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 정삼각형이 되도록 하는 양수 $k$ 의 값을 구하는 과정이다. 

 

두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 를 지나는 직선의 방정식을 $x=t$ 라 하고 직선 $x=t$ 와 $x$ 축과의 교점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. 

삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 정삼각형이 되기 위해서는 직선 $\mathrm{CD}$ 가 선분 $\mathrm{AB}$ 를 수직이등분해야 한다.

그러므로 $\mathrm{\overline{AD}=\overline{BD}}$ 에서 $$t^2 + \boxed{ (가) } = 0 \\ t = 1 \text{ 또는 } t= \boxed{ (나) }$$ 이때 $t=1$ 인 경우는 조건을 만족시키지 않고 $t=\boxed{ (나) }$ 인 경우는 조건을 만족시킨다. 

따라서 양수 $k$ 의 값은 $\boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(t)$ 라 하고, (나), (다) 에 알맞은 수를 각각 $a, \; b$ 라 할 때, $f(a)+b$ 의 값은?

 

① $-12 + 16\sqrt{3}$          ② $-11 + 16\sqrt{3}$          ③ $-12 + 17\sqrt{3}$          ④ $-12 + 18\sqrt{3}$          ⑤ $-11 + 18\sqrt{3}$

 

정답 ①