중학교 복습_난이도 상 (2020년 3월 전국연합 고1 20번)

 

 

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 변 $\mathrm{CD}$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{AP}$ 와 선분 $\mathrm{BD}$ 의 교점을 $\mathrm{Q}$ 라 하고, 직선 $\mathrm{AP}$ 와 직선 $\mathrm{BC}$ 의 교점을 $\mathrm{R}$ 라 하자. 

 

 

다음은 $\mathrm{\overline{AQ}=\overline{RP}}$ 일 때, 선분 $\mathrm{PC}$ 의 길이를 구하는 과정이다.

 

$\overline{\mathrm{CR}}=x$ 라 하자.

$\mathrm{\overline{AD} \parallel \overline{BR}}$ 이므로 $\mathrm{\triangle QDA}$∽$\mathrm{\triangle QBR}$

이다. 따라서 

$\boxed{ (가) }:(x+2)=\mathrm{\overline{AQ}:\overline{RQ}} \quad \cdots \quad$ (1)

이다.

$\triangle \mathrm{PCR}$∽$\triangle \mathrm{PDA}$ 이므로

$x:2=\mathrm{\overline{RP}:\overline{AP}} \quad \cdots \quad$ (2)

이다.

$\mathrm{\overline{AQ}=\overline{RP}}$ 이므로 $\mathrm{\overline{AP}=\overline{RQ}}$ 이다. 

(1), (2) 에서 $x=\boxed { (나) }$ 이다.

따라서 $\overline{\mathrm{PC}}=\boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a, \; b, \; c$ 라 할 때, $a+b+c$ 의 값은?

 

① $2\sqrt{5}-1$          ② $4$          ③ $2+\sqrt{5}$          ④ $2\sqrt{5}$          ⑤ $5$

 

정답 ②