수학적 귀납법_난이도 중상 (2020년 9월 전국연합 고2 20번)

 

 

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1} \dfrac{1}{k} = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k} \quad \cdots \cdots \quad (\star)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

 

$(\star)$ 에서

$S_n = \sum \limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} \dfrac{1}{k}, \quad T_n = \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$ 이라 하자.

$({\rm i}) \; n=1$ 일 때,

       $S_1 = \boxed{ (가) }=T_1$ 이므로 $(\star)$ 이 성립한다.

$({\rm ii}) \; n=m$ 일 때,

       $(\star)$ 이 성립한다고 가정하면 $S_m = T_m$ 이다.

       $n=m+1$ 일 때, $(\star)$ 이 성립함을 보이자.

       $S_{m+1} = S_m + \dfrac{1}{2m+1} + \boxed{ (나) }$, 

       $T_{m+1} = T_m + \boxed{ (다) } + \dfrac{1}{2m+1} + \dfrac{1}{2m+2}$ 이다.

       $S_{m+1} - T_{m+1} = S_m - T_m$ 이고,

       $S_m = T_m$ 이므로 $S_{m+1} = T_{m+1}$ 이다.

       따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(\star)$ 이 성립한다.

 

$\rm (i), \; (ii)$ 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(\star)$ 이 성립한다. 

 

위의 (가)에 알맞은 수를 $a$ 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m), \; g(m)$ 이라 할 때, $a+\dfrac{g(5)}{f(14)}$ 의 값은?

 

① $\dfrac{7}{2}$          ② $\dfrac{9}{2}$          ③ $\dfrac{11}{2}$          ④ $\dfrac{13}{2}$          ⑤ $\dfrac{15}{2}$

 

정답 ③