원과 직선이 접할 조건_난이도 상 (2019년 11월 전국연합 고1 30번)

 

 

함수 $$f(x) = \begin{cases}-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+17 & (x<6) \\[5pt] (x-8)^2+5 & (x \ge 6) \end{cases}$$ 과 양의 실수 $t$ 에 대하여 중심이 점 $(t, \; f(t))$ 이고 반지름의 길이가 $t$ 인 원 $C$ 가 있다. 상수 $k$ 에 대하여 원 $C$ 가 직선 $y=k$ 와 만나는 서로 다른 점의 개수를 함수 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $g(2)=1$

(나) $g(4) \times g(6) = 2$

 

$\alpha -2 < t< \alpha$ 인 모든 실수 $t$ 에 대하여 $g(t)=2$ 를 만족시키는 실수 $\alpha$ 의 최댓값을 $\dfrac{m+\sqrt{n}}{2}$ 이라 할 때, 두 자연수 $m, \; n$ 에 대하여 $m+n$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $90$