등비수열의 일반항&등비수열의 합_난이도 중하 (2022년 9월 전국연합 고2 17번)

실수 $a \; (a>1)$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $x=n$ 이 두 함수 $$y=3a^x, \quad y=3a^{x-1}$$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 선분 ${\rm P}_n{\rm Q}_n$ 의 길이를 $l_n$, 사다리꼴 ${\rm P}_n{\rm Q}_n{\rm Q}_{n+2}{\rm P}_{n+2}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. 두 실수 $L, \; S$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^{20} l_k =L$, $\sum \limits_{k=1}^5 S_{4k-3}=S$ 일 때, 다음은 $\dfrac{S}{L}=\dfrac{2}{5}$ 를 만족시키는 $a$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

두 점 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 의 좌표는 각각 $\left (n, \; 3a^n \right ), \; \left (n, \; 3a^{n-1} \right )$ 

선분 ${\rm P}_n{\rm Q}_n$ 의 길이 $l_n$ 은 

     $l_n = 3(a-1) \times a^{n-1}$ 이므로

     $L=\sum \limits_{k=1}^{20} l_k = 3 \times \left (\boxed{ (가) } \right )$ 이다.

사다리꼴 ${\rm P}_n{\rm Q}_n{\rm Q}_{n+2}{\rm P}_{n+2}$ 의 넓이 $S_n$은

     $S_n = 3(a-1) \times \left (a^{n-1}+a^{n+1} \right )$ 이므로 

     $\begin{aligned} S &= \sum \limits_{k=1}^5 S_{4k-3} \\ &=S_1 +S_5 +S_9 +S_{13} +S_{17} \\ &= \dfrac{3}{\left (\boxed{ (나) } \right )} \times \left ( \boxed{ (가) } \right ) \end{aligned}$

이다. 따라서

     $\dfrac{S}{L} = \dfrac{\dfrac{3}{\left ( \boxed{ (나) } \right )} \times \left ( \boxed{ (가) } \right ) }{3 \times \left (\boxed{ (가) } \right )} = \dfrac{1}{\left ( \boxed{ (나) } \right )} = \dfrac{2}{5}$

이므로 $a=\boxed{ (다) }$ 이다.  

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(a), \; g(a)$ 라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $\dfrac{f \left (\sqrt{2} \right )}{g(20p)}$ 의 값은?

 

① $24$          ② $27$          ③ $30$          ④ $33$          ⑤ $36$

 

정답 ④