정사영의 넓이&두 평면이 이루는 각_난이도 상 (2014년 수능 B형 29번)

좌표공간에 구 $S :  x^2+y^2+z^2=50$ 과 점 ${\rm P}(0, \; 5, \; 5)$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원 $C$ 에 대하여 $C$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을 $\dfrac{q}{p} \pi$ 라 하자. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

(가) 원 $C$ 는 점 $\rm P$ 를 지나는 평면과 구 $S$ 가 만나서 생긴다.

(나) 원 $C$ 의 반지름의 길이는 $1$ 이다.

정답 $9$