수학1_도형과 무한등비급수_크기줄고 개수 늘고_난이도 중

아래와 같이 가로의 길이가 \(6\) 이고 세로의 길이가 \(8\) 인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 \(4\) 개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 그림 \(R_2\) 에 있는 합동인 \(4\) 개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 \(4\) 개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_n\) 에 있는 모든 원의 넓이의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} S_n\) 의 값은? (단, 모든 직사각형의 가로와 세로는 각각 서로 평행한다.)

 

① \(\dfrac{37}{9}\pi\)          ② \(\dfrac{34}{9}\pi\)          ③ \(\dfrac{31}{9}\pi\)          ④ \(\dfrac{28}{9}\pi\)          ⑤ \(\dfrac{25}{9}\pi\)         

 

 

정답 ⑤