삼각함수의 덧셈정리

\[{\rm sin}(A+B)={\rm sin}A {\rm cos} B + {\rm cos} A {\rm sin} B\]

\[{\rm cos}(A+B)={\rm cos}A {\rm cos} B - {\rm sin} A {\rm sin} B\]

먼저 \(A, \; B\) 가 예각이라는 가정 하고 \(A+B\) 가  각각 예각인 경우와 둔각인 경우에 대해서 위 공식을 증명해 보자.

그림 (a)는 \(A+B\)가 예각인 경우를, 그림 (b)는 \(A+B\) 가 둔각인 경우를 보여준다.

그림 (a)에서 \[\angle \rm QPR = \angle QPO - \angle OPM = (90^o -B) - (90^o -(A+B))=A\]

그림 (b)에서 \[ \rm \angle QPR = \angle QPO + \angle OPM = (90^o -B)+(90^o -(180^o -(A+B)))=A\]

따라서 \[ \begin{aligned} {\rm sin} (A+B) &= \dfrac{\rm MP}{\rm OP} = \dfrac{\rm MR+RP}{\rm OP} = \dfrac{\rm NQ+RP}{\rm OP}=\dfrac{\rm NQ}{\rm OP}+\dfrac{\rm RP}{\rm OP} \\[10pt] &= \dfrac{\rm NQ}{\rm OQ} \cdot \dfrac{\rm OQ}{\rm OP} + \dfrac{\rm RP}{\rm PQ} \cdot \dfrac{\rm PQ}{\rm OP} \\[10pt] &={\rm sin} A {\rm cos}B+{\rm cos}A {\rm sin}B \end{aligned}\]

또한 \[ \begin{aligned} {\rm cos} (A+B) &= \dfrac{\rm OM}{\rm OP} = \dfrac{\rm ON-MN}{\rm OP} = \dfrac{\rm ON-RQ}{\rm OP}=\dfrac{\rm ON}{\rm OP}-\dfrac{\rm RQ}{\rm OP} \\[10pt] &= \dfrac{\rm ON}{\rm OQ} \cdot \dfrac{\rm OQ}{\rm OP} - \dfrac{\rm RQ}{\rm PQ} \cdot \dfrac{\rm PQ}{\rm OP} \\[10pt] &={\rm cos} A {\rm cos}B-{\rm sin}A {\rm sin}B \end{aligned} \]

위 공식이 \( A=B=0^o\) 일 때 성립하는 것을 보이는 것은 어려운 일이 아니다.

예각이 아닌 일반적인 각들에 대해서도 성립함을 다음 처럼 보일 수 있다.

 \[ \begin{aligned} {\rm sin} ((A+90^o )+B) &= {\rm sin}((A+B)+90^o )={\rm cos}(A+B) \\[10pt] &= {\rm cos}A{\rm cos}B-{\rm sin}A{\rm sinB} \\[10pt] &={\rm sin} (A+90^o) {\rm cos}B+{\rm cos}(A+90^o) {\rm sin}B \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} {\rm sin} ((A-90^o )+B) &= {\rm sin}((A+B)-90^o )=-{\rm cos}(A+B) \\[10pt] &= -({\rm cos}A{\rm cos}B-{\rm sin}A{\rm sinB}) \\[10pt] &=(-{\rm cos}A) {\rm cos}B+{\rm sin}A {\rm sin}B \\[10pt] &={\rm sin} (A-90^o) {\rm cos}B+{\rm cos}(A-90^o) {\rm sin}B \end{aligned} \]

 

 \[ \begin{aligned} {\rm sin} ((A-90^o )+B) &= {\rm sin}((A+B)-90^o )=-{\rm cos}(A+B) \\[10pt] &= -({\rm cos}A{\rm cos}B-{\rm sin}A{\rm sinB}) \\[10pt] &=(-{\rm cos}A) {\rm cos}B+{\rm sin}A {\rm sin}B\\[10pt] &={\rm sin} (A-90^o) {\rm cos}B+{\rm cos}(A-90^o) {\rm sin}B \end{aligned} \]

\(\rm B\) 대신 \(- {\rm B}\) 를 대입하여 다음을 얻을 수도 있다.

\[{\rm sin}(A-B)={\rm sin}A {\rm cos}B - {\rm cos}A {\rm sin} B\]

\[{\rm cos}(A-B)={\rm cos}A {\rm cos}B + {\rm sin}A {\rm sin} B\]

탄젠트의 덧셈정리는 \( {\rm tan} \theta = \dfrac{{\rm sin} \theta}{{\rm cos} \theta}\) 임을 이용하여 다음과 같이 보일 수 있다.

\[\begin{aligned} {\rm tan}(A+B) &= \dfrac{{\rm sin}(A+B)}{{\rm cos}(A+B)} \\[10pt] &=\dfrac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} \\[10pt] &=\dfrac{\dfrac{\sin A \cos B}{\cos A \cos B} + \dfrac{\cos A \sin B}{\cos A \cos B}}{\dfrac{\cos A \cos B}{\cos A \cos B} - \dfrac{\sin A \sin B}{ \cos A \cos B}} \\[10pt] &=\dfrac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B} \end{aligned} \]

역시 \(\rm B\) 대신 \(- \rm B\) 를 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

\[\tan (A-B) = \dfrac{\tan A- \tan B}{1+\tan A \tan B}\]