수악중독

이차정사각행렬 \(A\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^3+E=O\) (나) \(A+E\) 의 역행렬이 존재한다. 행렬 \((A-E)^{60}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) 정답 \(2\)

두 행렬 \(A= \left ( \matrix{1 & -1 \\ 1 & 0} \right ) , \;\; B=\left ( \matrix{1 & 1 \\ -1 & 0} \right ) \) 에 대하여 \(S=\{ X \;|\; X=A^n,\; n은 \; 자연수 \}\) \(T=\{ Y \;|\; Y=B^n,\; n 은 \; 자연수 \}\) 라 하자. 에서 옳은 것만을 모두 고르면? ㄱ. \(X \in S\) 이면 \(X^2 \in S\) 이다. ㄴ. \(X \in S, \; Y \in T\) 이면 \(XY \in S\) 이다. ㄷ. \(Y \in T\) 이면 \(Y\) 는 항상 역행렬을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

두 이차정사각행렬 \(A, \;B\) 에 대하여 \(AB-BA=\left ( \matrix{ p & q \\ r & s} \right )\) 라 할 때, 에서 항상 옳은 것만을 모두 고른 것은? ㄱ. \(A=\left ( \matrix{1 & 1 \\ 0 & 0} \right ) \) 이면 \(ps-qr=0\) 이다. ㄴ. 모든 이차정사각행렬 \(A, \;B\) 에 대하여 \(p+s=0\) 이다. ㄷ. 행렬 \(AB-BA\) 가 영행렬이면 \(B\) 는 \(A\) 의 역행렬이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

수직선 위의 서로 다른 두 점 \({\rm A}(a), \; {\rm B}(b)\) 에 대하여 선분 \(\rm AB\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점과 외분하는 점을 각각 \({\rm P}(c),\; {\rm Q}(d)\) 라 하자. 행렬 \(\left ( \matrix {a & b \\ c& d} \right )\) 의 역행렬이 존재하지 않을 때, \(\dfrac{b}{a}\) 의 값은? ① \(2\) ② \(\dfrac{3}{2}\) ③ \(\dfrac{3}{4}\) ④ \(\dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ②

두 부등식 \(x>0,\; y>x\) 의 영역에 속하는 점 \({\rm P}(a, \;b)\) 에서 두 직선 \(y=x, \; y=-x\) 에 이르는 거리를 각각 \(c,\;d\) 라 하자. 이차정사각행렬 \(M\) 인 \(M \left ( \matrix {a \\ b} \right ) = \left ( \matrix { c \\ d} \right )\) 를 만족할 때, 행렬 \(M+M^{-1}\) 의 모든 성분의 합은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(2\) ④ \(2\sqrt{2}\) ⑤ \(\sqrt{3}\) 정답 ④

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 지표와 가수를 각각 \(f(x), \; g(x)\) 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 \(x\) 값의 곱은? (가) \(f(x)+3g(x)\) 의 값은 정수이다. (나) \(f(x) + f \left ( x^2 \right ) =6\) ① \(10^4\) ② \(10^\frac{13}{3}\) ③ \(10^\frac{14}{3}\) ④ \(10^5\) ⑤ \(10^\frac{16}{3}\) 정답 ②

두 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 이 각각 \[a_n=\dfrac{1}{2^{n-2}} \cos \dfrac{(n-1)\pi}{2},\;\; b_n=\dfrac{1+(-1)^{n-1}}{2^n}\] 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 \(k\) 에대하여 \(a_{3k}

\(n \geq 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 \(C\) 를 \(x\) 축의 방향으로 \(\dfrac{2}{n}\) 만큼 평행이동시킨 원을 \(C_n\) 이라 하자. 원 \(C\) 와 원 \(C_n\) 의 공통현의 길이를 \(l_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{(nl_n)^2}=\dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(19\)

두 행렬 \(A= \left ( \matrix { 1 & -1 \\ 1 & 1} \right ) ,\; B= \left ( \matrix {-1 & 0 \\ 0 & 3} \right )\) 에 대하여 \[P=ABA^{-1},\;\; (P+tE)^n=16E\] 가 성립할 때, 자연수 \(n\) 과 실수 \(t\) 의 곱 \(nt\) 의 값은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(-4\) ② \(-2\) ③ \(2\) ④ \(4\) ⑤ \(6\) 정답 ①

두 무한수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 의 일반항이 \[a_n=\cos n \pi ,\;\; b_n = \sin \dfrac{2n-1}{2}\pi\] 일때, 옳은 것을 에서 모두 고르면? ㄱ. 수열 \( \left \{ \dfrac{a_n}{b_n} \right \}\) 은 수렴한다. ㄴ. 수열 \(\{ a_n +b_n\}\) 은 수렴한다. ㄷ. \(\lim \limits_{n \to \infty} (a_n +b_n) = \lim \limits_{n \to \infty} a_n + \lim \limits_{n \to \infty} b_n\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③