수악중독

실수 \(a, \;b,\;c\) 에 대하여 \(a\) 의 \(l\) 제곱근, \(b\) 의 \(m\) 제곱근, \(c\) 의 \(n\) 제곱근 중 실수인 것의 개수를 각각 \(p\)개, \(q\)개, \(r\)개라 하자. 다음 조건을 만족하는 \(p,\;q,\;r\) 에 대하여 \(p^2+10q-r\) 의 값을 구하시오. (단, \(a0,\;c

아래와 같이 가로의 길이가 \(6\) 이고 세로의 길이가 \(8\) 인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 직사각형의 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 \(4\) 개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 \(\dfrac{1}{3}\) 을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 그림 \(R_2\) 에 있는 합동인 \(4\) 개의 직사각형 각각에서 각 꼭짓점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 ..

아래 그림과 같이 원점 \(\rm O\) 와 점 \(\rm A_1 (0.\;8)\) 을 이은 선분 \(\rm OA_1\) 을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_1 B_1\) 을 그린다. 점 \(\rm B_1\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_2\) 라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_2\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_2B_2\) 를 그린다. 점 \(\rm B_2\) 에서 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm A_3\) 이라 하고, 반지름이 선분 \(\rm OA_3\) 이고 중심각의 크기가 \(\theta\) 인 부채꼴 \(\rm OA_3B_3\) 을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 ..

무한급수 \(a_1 + \left (a_2 -\dfrac{1}{2} \right ) + \left ( a_3 - \dfrac{2}{3} \right ) + \left ( a_4 - \dfrac{3}{4} \right ) + \cdots \) 가 수렴할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(1\)

무한급수 \(\dfrac{x+3}{5}+\dfrac{(x+3)(x-5)}{5^2}+\dfrac{(x+3)(x-5)^2}{5^3}+ \cdots\) 이 수렴하도록 하는 모든 정수 \(x\) 의 합을 구하시오. 정답 \(42\)

무한등비급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} (x+1) \left ( 1-\dfrac{x}{4} \right )^{n-1}\) 의 합이 존재하도록 하는 모든 정수 \(x\) 의 합을 구하시오. 정답 \(27\)

자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y= \log _c |x|\) 의 그래프와 직선 \(y=n\) 의 교좀의 \(x\) 좌표를 각각 \(a_n ,\; b_n \; (a_n >b_n)\) 이라 할 때, 수열 \(\{a_n\},\;\{b_n\}\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a_n+b_n=0\) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty} b_n=0\) 이면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{c}{1-c}\) 이다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{b_n}\) 이 발산하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 발산한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ,..

두 수열 \(\{a_n\},\; \{b_n\}\) 에 대하여 \[ a_n+b_n=2+\dfrac{1}{n}\;\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\] 일 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{n \to \infty}(a_n+b_n)=2\) ㄴ. 수열 \(\{a_n\}\) 이 수렴하면 수열 \(\{b_n\}\) 도 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 수렴하면 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\) 도 수렴한다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(a_1 + 3a_2=0,\;\; a_1+a_2+a_3=28\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(27\)

\(a_1=1,\; 2a_{n+1}+a_n=2\;(단, \;n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 를 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 에서 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. 수열 \(\left \{ a_n -\dfrac{2}{3} \right \}\) 는 공비가 \(-\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열이다. ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty}a_n\) 은 수렴한다. ㄷ. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 은 수렴한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③