수악중독

자연수 \(k\) 에 대하여 \(\log k\) 의 지표와 가수를 각각 \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표로 갖는 점을 \({\rm P}_k\) 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 자연수 \(m, \;n\) 의 모든 순서쌍 \((m, \; n)\) 의 개수를 구하시오. (가) \(1 \leq m

자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm A}_n\) 이 함수 \(y=4^x\) 의 그래프 위의 점을 때, 점 \({\rm A}_{n+1}\) 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 \({\rm A}_1\) 의 좌표는 \((a, \; 4^a )\) 이다. (나) (1) 점 \({\rm A}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm P}_n\) 이라 한다. (2) 점 \({\rm P}_n\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=\log _4 x\) 와 만나는 점을 \({\rm B}_n\) 이라 한다. (3) 점 \({\rm B}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 평행한 직선이 직선 \(y=2x\) 와 만나는 점을 \({\rm ..

두 이차정사각행렬 \(A, \; B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A(E+B)=E\) (나) \(AB-BA=A+B\) 다음 중 행렬 \((AB)^{20}\) 과 항상 같은 것은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(-E\) ② \(20E\) ③ \(-A\) ④ \(A\) ⑤ \(20A\) 정답 ③

다음 조건을 모두 만족하는 실수 \(x, \; y\) 에 대하여 좌표평면 위의 점 \({\rm P}(x, \;y)\) 와 원점 \(\rm O\) 를 연결한 선분 \(\rm OP\) 가 \(x\) 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\alpha\) 라 할 때, 모든 \(\alpha\) 의 합은? (단, \( 0 \leq \alpha < 2\pi )\) I. \(x^2 +y^2 =4\) II. 행렬 \(\left ( \matrix {x-1 & y \\ 0 & x+2} \right) \) 가 역행렬을 갖지 않는다. ① \(\dfrac{5}{3} \pi \) ② \(2\pi\) ③ \(\dfrac{7}{3}\pi\) ④ \(\dfrac{8}{3}\pi\) ⑤ \(3\pi\) 정답 ⑤

자연수 \(n\) 을 오진법의 수로 나타내었을 때, 그 오진법의 수가 \(m\) 자리의 수이면 \(a_n =m\) 으로 정의하는 수열 \(\{a_n\}\) 이 있다. 예를 들면 \(7=12_{(5)} \) 이므로 \(a_7 =2\) 이고, \(27=102_{(5)} \) 이므로 \(a_{27} =3\) 이다. \(\sum \limits _{k=1}^{100} a_k \) 의 값을 구하시오. 정답 272

함수 \(f(x)=\dfrac{4^x}{4^x +2}\) 에 대하여 옳은 것을 에서 모두 고른 것은? ㄱ. \(f \left ( \dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{1}{2}\) ㄴ. \(f(x)+f(1-x)=1\) ㄷ. \( \sum \limits_{k=1}^{100} f \left ( \dfrac{k}{101} \right ) = 50 \) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

\(1\) 이 아닌 양수 \(a,\;b\;\;(a>b)\)에 대하여 두 함수 \(f(x)=a^x\), \(g(x)=b^x\) 라 하자. 양수 \(n\) 에 대하여 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(f(n)>g(n)\)ㄴ. \(f(n)1\) 이다. ㄷ. \(f(n)=g(-n)\) 이면 \(f\left ( \dfrac{1}{n} \right ) = g \left (- \dfrac{1}{n} \right )\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

양의 실수 전체의 집합에서 함수 \(f(x)= \log x- \left [ \log x \right ] \) 로 정의하자. \(f(a)f(b)f(c) \ne 0\) 이고 \(f(b) \ne f(c)\) 인 세 양수 \(a, \; b,\; c\) 에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은 ? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ㄱ. \(f(a)+f(b)=1\) 이고 \(f(b)+f(c)=1\) 이면 \(f(a)+f(c)=1\) 이다.ㄴ. \(f(a)+f(b)=1\) 이면 \(f(ac)+f \left ( \dfrac{b}{c} \right ) =1\) 이다. ㄷ. \(f(a)+f \left ( a^2 \right ) =1 \) 이면 \(3f(a)=1\) 이다. ① ..

다음 조건을 만족시키는 자연수 \(N\) 의 개수를 구하시오. (단, \(\sqrt{10} = 3.16\) 으로 계산한다.) (가) \(\log N\) 의 지표는 \(1\) 이다. (나) \( \log N\) 의 가수는 \(\log \dfrac{40}{N}\) 의 가수보다 크다. 정답 \(56\)

\(x\) 에 대항 방정식 \(a^{2x} -ka^{x} =0 \;(a>1)\) 은 양수인 두 수 \(\alpha, \; \beta\) 를 근으로 갖는다. \(p=a^{\alpha - \beta} +a^{ \beta - \alpha} \) 에 대하여 \([p]\) 의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,\;m\) 이라고 할 때, \(M+m\) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ①