수악중독

이차정사각행렬 \(A\) 에 대하여 \(\left ( \matrix {x \\ y} \right ) =\left ( \matrix{1 \\2} \right )\) 가 연립방정식 \(A \left ( \matrix{x \\y} \right ) = \left ( \matrix{ 0 \\ 0} \right ) \) 의 해이고, \(\left ( \matrix{x \\ y} \right ) = \left ( \matrix{3 \\4} \right ) \) 가 연립방정식 \(A \left ( \matrix{x \\ y} \right ) = \left ( \matrix{x \\ y} \right ) \) 의 해일 때, 연립방정식 \( A= \left ( \matrix { x \\ y} \right ) = - \le..

다음은 이차정사각행렬 \(A\) 와 서로 다른 수 실수 \(p,\;q\) 에 대하여 \(A-pE\) 와 \(A-qE\) 가 모두 역행렬을 갖지 않으면 \(A^2 -(p+q)A+pqE=O\) 임을 증명한 것이다. (단, \(E\) 는 단위행렬이고, \(O\) 는 영행렬이다.) \(B=A- \dfrac{p+q}{2}E,\;\; K= \; (가) \;\) 라 하면 \(B-kE=A-pE\) 이고 \(B+kE=A-qE\) 이므로 \(B-kE\) 와 \(B+kE\) 는 모두 역행렬을 갖지 않는다. 따라서 \( B= \left ( \matrix{a & b \\ c & d} \right ) \) 라 하면, \(k \ne 0\) 이므로 \(a+d=(나)\) 이고, \(ad-bc=-k^2\) 이다. 그런데 \(B^{-1}..

한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 변 \(\rm BC\) 위에 양 끝점이 아닌 한 점 \(\rm P_0\) 를 잡는다. 그림과 같이 \(\rm P_0\) 을 지나고 변 \(\rm AB\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_1\) , 점 \(\rm P_1\) 을 지나고 변 \(\rm BC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm AB\) 와 만나는 점을 \(\rm P_2\), 점 \(\rm P_2\) 를 지나고 변 \(\rm AC\) 와 평행한 직선을 그어 변 \(\rm BC\) 와 만나는 점을 \(\rm P_3\) 이라 하자.이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 점을 \(\rm P_{\it n}\) 이라 하고, 점..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm A_1 B_1 C_1\) 의 세 변 \(\rm B_1 C_1 ,\;\; C_1 A_1 ,\;\; A_1 B_1\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_1 ,\;\; E_1 , \;\; F_1\) 이라 하고, 세 선분 \(\rm A_1 D_1 ,\;\; B_1 E_1 ,\;\; C_1 F_1\) 의 교점을 차례대로 \(\rm A_2 , \;\; B_2 ,\;\; C_2\) 라 하자. 삼각형 \(\rm A_2 B_2 C_2\) 의 세 변 \(\rm B_2 C_2 ,\;\; C_2 A_2 ,\;\; A_2 B_2\) 을 \(1:2\) 로 내분한 점을 각각 \(\rm D_2 ,\;\; E_2 , \;\; F_2\) 이라 하고, 세 ..

두 그릇 \(A,\;B\) 에 각각 \(10%,\; 20%\) 의 소금물이 \(200\rm g\) 씩 들어 있다. \(A\) 그릇에서 소금물 \(100 \rm g\) 을 \(B\) 그릇에 옮기고 잘 섞은 다음 \(B\) 그릇에서 소금물 \(100 \rm g\) 을 \(A\) 그릇으로 옮기는 것을 \(1\) 회 시행이라 하자. 이와 같은 방법으로 \(n\) 회 시행한 후 \(A,\;B\) 그릇의 소금물의 농도를 각각 \(a_n % ,\; b_n %\) 라 하면 등식 \[ \left ( \matrix { a_n \\ b_n } \right ) = \left ( \matrix{2 & p \\ q & 2} \right ) \left ( \matrix { a_{n+1} \\ b_{n+1}} \right ) \;\..

\(\dfrac{\sqrt{\pi -3}}{\sqrt{3- \pi}} - \dfrac{\sqrt{\left ( \pi -3 \right )^2}}{\sqrt{\left ( 3 - \pi \right ) ^2 }} + \dfrac{{\sqrt[3]{{\pi - 3}}}}{{\sqrt[3]{{3 - \pi }}}} - \dfrac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\pi - 3} \right)}^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {3 - \pi } \right)}^3}}}}}\) 의 값은? (단, \(i= \sqrt{-1}\)) ① \(1-i\) ② \(1-2i\) ③ \(-1-i\) ④ \(-2\) ⑤ \(-2-i\) 정답 ③

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 \(\rm A,\;B\) 가 \[(A+B) \left ( A^{-1} + B^{-1} \right ) =4E\] 를 만족시킨다. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은?(단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ㄱ. \(A^{-1} + B^{-1}\) 의 역행렬이 존재한다.ㄴ. \(A=E\) 이면 \(B=E\) 이다.ㄷ. \(AB= \dfrac{1}{2} E\) 이면 \(A^2 + B^2 =E\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 정사각형 중 두 함수 \(y=\log 3x,\; y=\log 7x\) 의 그래프와 모두 만나는 것의 개수를 구하시오. (가) 꼭짓점의 \(x\) 좌표, \(y\) 좌표가 모두 자연수이고 한 변의 길이가 \(1\) 이다. (나) 꼭짓점의 \(x\) 좌표는 모두 \(100\) 이하이다. 정답 79

양수 \( x \) 에 대하여 \( {\rm log}x \) 의 지표를 \( f(x) \) 라 하자. 정수 부분이 네 자리인 양수 \( t \) 에 대하여 \[ {\rm log} t = \dfrac{1}{4} f(t^2) - \dfrac{1}{2} f \left( \dfrac{1}{t} \right) \] 을 만족시키는 모든 실수 \( t \) 의 곱을 \( A \) 라 할 때, \( 4 {\rm log } A \) 의 값을 구하시오. (4점) 정답 27

모든 항이 양수인 수열 \( \{ a_n \} \) 이 \( \lim \limits_{n \to \infty } (\sqrt {a_n + n} - \sqrt n ) = 5\) 를 만족시킬 때, \( \lim \limits_{n \to \infty } \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}\) 의 값을 구하시오. 정답 10