수악중독

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1 = \dfrac{1}{2} ,\; a_{n+1} = a_n (a_n +1)\) (\(n\) 은 자연수) 을 만족한다. \(\dfrac{1}{a_1 +1} + \dfrac{1}{a_2 +1} + \cdots + \dfrac{1}{a_{100}+1}\) 의 정수 부분은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

좌표평면에 원 \(C_1 : x^2 +y^2 =9\) 가 있다. 그림과 같이 \(x\) 축 위의 점 \({\rm A}(5,\;0)\) 에서 원 \(C_1\) 에 두 개의 접선 \(l_1 , \; l_2\) 를 그었을 때 생기는 접점을 각각 \(\rm P_1 , \; Q_1\) 이라 하고, 원 \(C_1\) 과 \(x\) 축의 교점 중 \(x\) 좌표가 음수인 점을 \(\rm R_1\) 이라 하자. 중심이 \(x\) 축 위에 있고 중심의 \(x\) 좌표가 양수이면서 원 \(C_1\) 과 외접하고 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 에 접하는 원을 \(C_2\) 라 하자. 원 \(C_2\) 와 원 \(C_1\) 의 접점을 \(\rm R_2\), 두 직선 \(l_1 ,\; l_2\) 와의 교점을 각각 \(\..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[ (n-1) \cdot 2^n +3^n \geq 3n \cdot 2^{n-1} \;\;\; \cdots \cdots (*) \] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. i) \(n=1\) 일 때, \(0 \cdot 2^1 + 3^1 \geq 3 \cdot 1 \cdot 2^0\) 이므로 부등식 \((*)\) 이 성립한다. ii) \(n=k\) (\(k\) 는 자연수) 일 때, 부등식 \((*)\) 이 성립한다고 가정하면 \((k-1)\cdot 2^k + 3^k \geq 3k \cdot 2^{k-1} \cdots \cdots\)㉠ ㉠의 양변에 \(2\) 를 곱한 후 \((가)\) 를 더하고 \(2 \cdot 3^k \) 을 빼면 \(k \cdot ..

로그부등식 \[ \log_2 (y-2x+3) \leq \log_2 (x-1) + \log_2 (4-x)\] 를 만족시키는 정수 \(x, \;y\) 에 대하여 \(x+y\) 의 최댓값은? ① \(8\) ② \(9\) ③ \(10\) ④ \(11\) ⑤ \(12\) 정답 ①

함수 \(f(x)=9x^{4-\log_3 x} \;(x>1)\) 은 \(x=a\) 일 때 최댓값 \(M\) 을 갖는다. \(a+M\) 의 값을 구하시오. 정답 \( 738\)

함수 \(f(x)=\log _2 \dfrac{\sqrt{2}}{\left ( \sqrt{2} \right ) ^{x+1} +1} \) 의 그래프 위에 두 점 \((a,\;0)\) 과 \((0,\;b)\) 가 있을 때, \(a-2b\) 의 값은? ① \(-\log_2 \left ( 3+ \sqrt{2} \right ) \) ② \(-2\) ③ \(-1\) ④ \(0\) ⑤ \( \log_2 \left ( 1+ \sqrt{2} \right ) \) 정답 ②

함수 \(y=\dfrac{2x+1}{x+3}\) 이 점근선 중 \(y\) 축에 평행한 점근선을 \(l\) 이라 하자. 함수 \(y=\log_{\frac{1}{3}} | x+m | +n \) 의 그래프가 점 \((6,\;3)\) 을 지나고 직선 \(l\) 에 대하여 대칭일 때, 두 상수 \(m,\;n\) 의 합 \(m+n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(8\)

\(1

\(0\) 이 아닌 두 실수 \(x, \;y\) 가 연립방정식\[\left\{ {\begin{array}{ll} {{2^x} = {9^{ - x + y}}}&{}\\ {{x^2} + x = \dfrac{{y{{\log }_2}3}}{2}}&{} \end{array}} \right.\] 을 동시에 만족시킬 때, \(2^{4x}\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{3}{4}\) ③ \(\dfrac{9}{8}\) ④ \(\dfrac{3}{2}\) ⑤ \(\dfrac{9}{4}\) 정답 ③

지수방정식 \(4^{2x} +a \cdot 4^x -a^2 =0\) 의 근이 \(0\) 과 \(\dfrac{1}{2}\) 사이에 존재하도록 하는 모든 자연수 \(a\) 의 값의 합은? ① \(5\) ② \(6\) ③ \(7\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ①