수악중독

집합 $\{ x | -\pi \le x \le \pi \}$ 에서 정의된 함수 $$f(x)= \left | \sin 2x + \dfrac{2}{3} \right |$$ 가 있다. 양수 $k$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 두 직선 $y=3k, \; y=k$ 와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 $m, \; n$ 이라 할 때, $|m-n|=3$ 을 만족시킨다. $-\pi \le x \le \pi$ 일 때, $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=k$ 의 모든 실근의 합은? ① $\dfrac{3}{2} \pi$ ② $2 \pi$ ③ $\dfrac{5}{2} \pi$ ④ $3 \pi$ ⑤ $\dfrac{7}{2}\pi$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 양수 $a$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=4$, $\overline{\rm BC}=a$, $\overline{\rm CA}=8$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\angle {\rm BAC}$ 의 이등분선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm P$ 라 하자. $a(\sin {\rm B}+\sin {\rm C} ) = 6 \sqrt{3}$ 일 때, 선분 $\rm AP$ 의 길이는? (단, $\angle {\rm BAC} > 90^{\rm o}$) ① $\dfrac{7}{3}$ ② $\dfrac{8}{3}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{10}{3}$ ⑤ $\dfrac{11}{3}$ 더보기 정답 ②

$\dfrac{12}{5} < k \le 4$ 인 상수 $k$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 수열 $\{a_n \}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $n$ 이 짝수이면 $a_n$ 은 $0 \le x \le 2$ 에서 직선 $y=-\dfrac{k}{2n}$ 와 곡선 $y=2 \sin \left (n\pi x+\dfrac{\pi}{2} \right ) + \left | k \sin^2(n\pi x) -(k-1) \right |$ 이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다. (나) $n$ 이 홀수이면 $a_n$ 은 $0 \le x \le 2$ 에서 직선 $y=\dfrac{k+1}{n}$ 과 곡선 $y=2 \sin \left (n \pi x + \dfrac{\pi}{2} \right ) + \left | k \..

닫힌구간 $[0, \; 12]$ 에서 정의된 두 함수 $$f(x)=\cos \dfrac{\pi x}{6}, \quad g(x)=-3 \cos \dfrac{\pi x}{6}-1$$ 이 있다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=k$ 가 만나는 두 점의 $x$ 좌표를 $\alpha_1, \; \alpha_2$ 라 할 때, $| \alpha_1 - \alpha_2|=8$ 이다. 곡선 $y=g(x)$ 와 직선 $y=k$ 가 만나는 두 점의 $x$ 좌표를 $\beta_1, \; \beta_2$ 라 할 때, $|\beta_1 - \beta_2 |$ 의 값은? (단, $k$ 는 $-1

그림과 같이 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm C, \; D$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점 $\rm O$ 에 대하여 두 선분 $\rm AD, \; CO$ 가 점 $\rm E$ 에서 만나고, $$\overline{\rm CE}=4, \quad \overline{\rm DE}=3\sqrt{2}, \quad \angle {\rm CEA} = \dfrac{3}{4} \pi$$ 이다. $\overline{\rm AC} \times \overline{\rm CD}$ 의 값은? ① $6 \sqrt{10}$ ② $10\sqrt{5}$ ③ $16\sqrt{2}$ ④ $12\sqrt{5}$ ⑤ $20\sqrt{2}$ 더보기 정답 ⑤

모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $$\left (a \sin ^2 x - 4 \right ) \cos x +4 \ge 0$$ 을 만족시키는 실수 $a$ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 더보기 정답 $14$

곡선 $y=x^3-x^2$ 위의 제 $1$ 사분면에 있는 점 $\rm A$ 에서 접선의 기울기가 $8$ 이다. 점 $(0, \; 2)$ 를 중심으로 하는 원 $S$ 가 있다. 두 점 $\rm B(0, \; 4)$ 와 원 $S$ 위의 점 $\rm X$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA$ 와 $\rm BX$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\overline{\rm BX} \sin\theta$ 의 최댓값이 $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ 가 되도록 하는 원 $S$ 의 반지름의 길이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{3\sqrt{5}}{4}$ ② $\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ ③ $\dfrac{17\sqrt{5}}{20}$ ④ $\dfrac{9..

두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $$f(x)=\sin (a\pi x)+2b \quad (0 \le x \le 1)$$ 이 있다. 집합 $\{ x | \log_2f(x) \text{는 정수}\}$ 의 원소의 개수가 $8$ 이 되도록 하는 서로 다른 모든 $a$ 값의 합은? ① $12$ ② $15$ ③ $18$ ④ $21$ ⑤ $24$ 더보기 정답 ①

두 정수 $a, \; b$ 에 대하여 $$a^2 +b^2 \le 13, \quad \cos \dfrac{(a-b)\pi}{2}=0$$ 을 만족시키는 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수는? ① $16$ ② $20$ ③ $24$ ④ $28$ ⑤ $32$ 더보기 정답 ③

넓이가 $5\sqrt{2}$ 인 예각삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=3$, $\overline{\rm AC}=5$ 일 때, 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원의 반지름의 길이는? ① $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ ② $\dfrac{7\sqrt{3}}{4}$ ③ $2\sqrt{3}$ ④ $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ ⑤ $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ 더보기 정답 ①