수악중독

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1 =10$ 이고 $(a_{n+1})^{n+1} = \dfrac{a_1 + (a_2)^2 + (a_3)^3 + \cdots + (a_n)^n}{n} \;\; (n \ge 1)$ 을 만족시킨다. 다음을 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정의 일부이다. $b_n=(a_n)^n$ 이라 하면 $b_1=10$ 이고 주어진 식으로부터 $b_{n+1}=\dfrac{b_1 + b_2 + \cdots + b_n}{n} \;\; (n \ge 1)$이다. $S_n = \sum \limits_{k=1}^{n} b_k$ 라 하면 $S_{n+1} = (가) \times S_n$이다. $s_1 = 10$, \( S_n = S_1 \times \df..

다음 [단계]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다. [단계 1] $3$ 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.[단계 2] 의 아래에 $3$ 개의 원을 외접하게 그려서 를 얻는다.[단계 3] 의 아래에 $4$ 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다.$\vdots$[단계 $m$] 의 아래에 $(m+1)$ 개의 원을 외접하게 그려서 을 얻는다. ($m \ge 2)$ 에 그려진 원의 모든 접점의 개수를 $a_n$ $(n=1, \;2., \;3, \; \cdots)$ 이라 하자. 예를 들어, $a_1=3,\; a_2=9$ 이다. $a_{10}$ 의 값을 구하시오. 정답 $165$

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1 = \dfrac{1}{4}$ 이고 $(n+1)a_n=a_{n+1}(3n-2a_n) \; ( n \ge 1)$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변을 $a_n a_{n+1}$ 로 나누면 $\dfrac{n+1}{a_{n+1}}=\dfrac{3n-2a_n}{a_n}$이다. $b_n=\dfrac{n}{a_n}$ 이라 하면 $b_{n+1}=3b_n + (가)$이고, $b_{n+1}-1=3(b_n-1)$ 이다.$b_1=4$ 이므로 $b_n= (나)$ $b_n = (나) +1$이다. 그러므로 $a_n=\dfrac{n}{(나)+1} \; (n\ge 1)$이다. 위의 (가)에..

좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 그림과 같이 곡선 $y=x^2$ 과 직선 $y=\sqrt{n}x$ 가 제1사분면에서 만나는 점을 ${\rm P}_n$ 이라고 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 직선 $y=\sqrt{n}x$ 에 수직인 직선이 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 ${\rm Q}_n {\rm R}_n$ 이라 하자. 삼각형 $\rm OQ_{\it n}R_{\it n}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{5} \dfrac{2S_n}{\sqrt{n}}$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $80$ ② $85$ ③ $90$ ④ $95$ ⑤ $100$ 정답 ③

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형 모양의 종이 $\rm ABCD$ 에서 각 변의 중점을 각각 $\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1$ 이라 하고 $\overline{\rm A_1 B_1}, \; \overline{\rm B_1C_1}, \; \overline{\rm C_1D_1}, \; \overline{\rm D_1A_1}$ 을 접는 선으로 하여 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 $S_1$ 이라 하자.$S_1$ 에서 정사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 의 각 변의 중점을 각각 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2$ 이라 하고 \(\overline{\..

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1=36$(나) $a_{n+1}-a_n=2n-14 \; (n \ge 1)$ $a_n=6$ 일 때, 모든 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $15$

수열 $\{a_n\}$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_1=1, \; a_2=2$(나) $a_n$ 은 $a_{n-2}$ 와 $a_{n-1}$ 의 합을 $4$로 나눈 나머지 $(n \ge 3)$ $\sum \limits_{k=1}^m a_k =166$ 일 때, $m$ 의 값을 구하시오. 정답 $123$

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $S_n = \sum \limits_{k=1}^{n} a_k$ 라 할 때, $2S_n=3a_n-4n+3\; (n \ge 1)$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정이다. $2S_n=3a_n-4n+3\; \cdots\cdots\; ㉠$에서 $n=1$ 일 때, $2S_1=3a_1-1$ 이므로 $a_1=1$ 이다.$2S_{n+1}=3a_{n+1}-4(n+1)+3 \; \cdots\cdots \;㉡$㉡에서 ㉠을 뺀 식으로부터 $a_{n+1}=3a_n+$ (가) 이다. 수열 $\{a_n+2\}$ 가 등비수열이므로일반항 $a_n$ 을 구하면$a_n=$ (나) $(n\ge 1)$이다. 위의 (가)에 알맞은 수를..

수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1=3$ 이고 ${a_{n + 1}} = \left\{ {\begin{array}{ll}{\dfrac{{{a_n}}}{2}}&{({a_n} 은 \; 짝수\;)}\\{\dfrac{{{a_n} + 93}}{2}}&{\left( {{a_n}은 \; 홀수\;} \right)} \end{array}} \right.$ 가 성립한다. $a_k =3$ 을 만족시키는 $50$ 이하의 모든 자연수 $k$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $235$

수열 $\{a_n\}$ 은 $15$ 와 서로소인 자연수를 작은 수부터 차례대로 모두 나열하여 만든 것이다. 예를 들면 $a_2 =2 , \;a_4=7$ 이다. $\sum \limits_{n=1}^{16} a_n$ 의 값은? ① $240$ ② $280$ ③ $320$ ④ $360$ ⑤ $400$ 정답 ②