수악중독

$a_1=20,\; a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+10\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)$ 과 같이 정의된 수열 $\{a_n\}$ 에서 $a_{100}$ 에 가장 가까운 정수는? ① $7$ ② $9$ ③ $11$ ④ $15$ ⑤ $19$ 정답 ④

$a_1=2,\; a_{n+1}=10a_n+81\;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)$ 로 정의된 수열 $\{a_n\}$ 이 있다. 이때, $a_{10}$ 의 각 자리의 수의 합은? ① $68$ ② $70$ ③ $72$ ④ $74$ ⑤ $76$ 정답 ④

첫째항이 $1$ 인 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 라 할 때, $nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)$ 이 성립한다. 다음은 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 $n$ 에 대하여 $S_{n+1}=S_n +a_{n+1}$ 이므로 $n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠$ 이다. $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡$이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터 $na_{n+1}=(n+1)a_n + (가)$ 를 얻는다. 양변을 \(n(n+1)..

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=2$ 이고, $S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} a_k$ 라 할 때, $a_{n+1}= \dfrac{S_n}{a_n}\;\; (n \geq 1)$ 을 만족시킨다. 다음은 $S_n$ 을 구하는 과정이다. 주어진 식으로부터 $a_2=\dfrac{S_1}{a_1}=1$ 이다. $n\geq 3$ 일 때, $a_n = \dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{S_{n-2}+a_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}}{a_{n-1}}$ 이므로 $a_n =a_{n-2}+1$ 이다. 따라서 일반항 $a_n$ 을 구하면, 자연수 $k$ 에 대하여 $n=2k-1$ 일 때..

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=4$ 이고, $a_{n+1} = n \cdot 2^n +\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k} \; (n \geq 1)$을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여 $a_n =(n-1) \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{k} \;(n \geq 2)$ 이다. 따라서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n=(가)+\dfrac{a_n}{n}$ 이므로 $a_{n+1}= \dfrac{(n+1)a_n}{n}+(가)$ 이다. $b_n=\dfrac{a_n}{n}$ 이라 하면 \(b_{n+1}=b_n..

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=-\dfrac{4}{9}$ 이고, $2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n \;(n \geq 1)$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정이다. 주어진 식 $2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n$ 의 양변을 $2^{2n+1}$ 으로 나누면 $\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{n}{2^{2n+1}} \;(n \geq 1)$ 이므로 $n \geq 2$ 인 자연수 $n$ 에 대하여 $\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{a_1}{2}+ \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k+1}} \; \cdots \cdots (*)$ ..

그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 블록을 쌓아 $10$ 층의 탑 모형을 만들었다. 탐 모형의 위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 모든 정사각형 모양의 면에 자연수를 $1$ 부터 차례대로 한 개씩 빠짐없이 썼을 때, 가장 큰 수를 구하시오. 정답 $761$

함수 $y=f(x)$ 는 $f(3)=f(15)$ 를 만족하고, 그 그래프는 그림과 같다. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $f(n)=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 인 수열 $\{a_n\}$ 이 있다. $m$ 이 $15$ 보다 작은 자연수일 때, \(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{15}

수열 $\{a_n\}$ 에서 $a_1=2$ 이고, $n \geq 1$ 일 때, $a_{n+1}$ 은 \[\dfrac{1}{n+2}

일반항이 $a_n = \dfrac{n(n+1)}{n} \; (n=1, \;2,\;3,\; \cdots)$ 인 수열 $\{a_n\}$ 에서 $a_n$ 의 값이 $6$ 의 배수인 항들을 작은 것부터 차례로 나열한 수열을 $\{b_n\}$ 이라 할 때, 다음은 $\sum \limits_{k=1}^{4n}b_k$ 를 구하는 과정이다. $a_{n+12}-a_n = (가)$ 이므로 $a_{n+12}-a_n$ 은 $6$ 의 배수이다. $\cdots\cdots$ ㉠ $a_1,\; a_2,\; a_3, \; \cdots ,\; a_{12}$ 중에서 $6$ 의 배수인 것은 $a_3=6,\; a_8=36,\; a_{11}=66,\; a_{12}=78$ 이므로 \(b_1=a_3..