수악중독

집합 \(U= \{ x \; |\; x \) 는 \(30 \) 이하의 자연 \( \} \)의 부분집합 \(A=\{ a_1 , \; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots, \; a_{15} \}\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 \(A\) 의 임의의 두 원소 \(a_i, \; a_j \;(i \ne j)\) 에 대하여 \(a_i +a_j \ne 31\) (나) \(\sum \limits_{i=1}^{15} a_i =264\) \(\dfrac{1}{31} \sum \limits_{i=1}^{15} a_i ^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(184\)

함수 \(f(x)\) 가 닫힌 구간 \([0, \;2]\) 에서 \( f(x)= |x-1|\) 이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+2)\) 를 만족시킬 때, 함수 \(g(x)\) 를 \[g(x)=x+f(x)\] 라 하자. 자연수 \(n\) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(a, \;b\) 의 순서쌍 \((a, \;b)\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{15} a_n\) 의 값을 구하시오. (가) \(n \leq a \leq n\) (나) \(0

두 등차수열 \(\{a_n\}. \; \{b_n\}\) 의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 각각 \(S_n ,\; T_n\) 이라 하자. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(\dfrac{S_n}{T_n} = \dfrac{3n-1}{5n+11}\) 일 때, \(\dfrac{a_6}{b_6}\) 의 값은? ① \(\dfrac{13}{28}\) ② \(\dfrac{29}{61}\) ③ \(\dfrac{16}{33}\) ④ \(\dfrac{35}{71}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ③

좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=x+n\) 과 \(n\) 개의 원 \(x^2+y^2=2k^2\; (k=1,\;2,\;3,\; \cdots,\;n)\) 의 서로 다른 교점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{20} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(230\)

원 \(\rm O\) 위에 두 점 \(\rm A, \;B\) 가 있다. 점 \(\rm A\) 에서 원 \(\rm O\) 에 접하는 접선 \(l\) 과 선분 \(\rm AB\) 가 이루는 예각의 크기가 \(18^{\rm o}\) 이다. 선분 \(\rm OB\) 위의 한 점 \(\rm C\) 에 대하여 삼각형 \(\rm OAC\) 의 세 내각의 크기가 등차수열을 이룰 때, 가장 큰 내각의 크기는? ① \(68^{\rm o}\) ② \(72^{\rm o}\) ③ \(76^{\rm o}\) ④ \(80^{\rm o}\) ⑤ \(84^{\rm o}\) 정답 ⑤

수열 \(\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{1}{3},\; \dfrac{1}{4}, \; \cdots\) 의 항 중에서 유한소수로 나타낼 수 있는 분수를 큰 수부터 차례대로 \(a_1,\; a_2,\; a_3,\; \cdots\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(1\) ③ \(\dfrac{3}{2}\) ④ \(2\) ⑤ \(\dfrac{5}{2}\) 정답 ⑤

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(m\) 의 최댓값은? (단, \(m\) 은 자연수이다.) (가) \(a_{1}=100\) (나) 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n-a_{n+1}=m\) (다) \(k \leq m\) 인 모든 자연수 \(k\) 에 대하여 \(\sum \limits_{n=1}^{k}a_n>0\) 이다. ① \(14\) ② \(15\) ③ \(16\) ④ \(17\) ⑤ \(18\) 정답 ①

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \[\sum \limits_{i=1}^{2n+1} \dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+ \cdots + \dfrac{1}{3n+1}>1\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 자연수\(n\) 에 대하여 \(a_n = \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n+1}\) 이라 할 때, \(a_n >1\) 임을 보이면 된다. (1) \(n=1\) 일 때, \(a_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{4}>1\) 이다. (2) \(n=k\) 일 때, \(a_k >1\) 이라고 가정하면, \(n=k+1\) 일 때 \(\beg..

함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(-1 \leq x < 1\) 에서 \(f(x)=|2x|\) 이다. (나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x+2)=f(x)\) 이다. 자연수 \(n\) 에 대하여 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프와 함수 \(y=\log_{2n} x\) 의 그래프가 만나는 점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\sum \limits_{n=1}^{7} a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(553\)

자연수 \(n\) 에 대하여 \(n\) 의 양의 약수의 개수를 \(D(n)\) 이라 할 때, \(S(n)\) 을 \[S(n)=D(1)+D(2)+\cdots D(n)\] 으로 정의하자. \(400\) 이하의 자연수 \(n\) 중에서 \(S(n)\) 의 값이 홀수가 되도록 하는 \(n\) 의 개수를 구하시오. 정답 \(210\)