수악중독

집합 $U= \{ x \; |\; x$ 는 $30$ 이하의 자연 $\}$의 부분집합 $A=\{ a_1 , \; a_2 , \; a_3 ,\; \cdots, \; a_{15} \}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합 $A$ 의 임의의 두 원소 $a_i, \; a_j \;(i \ne j)$ 에 대하여 $a_i +a_j \ne 31$ (나) $\sum \limits_{i=1}^{15} a_i =264$ $\dfrac{1}{31} \sum \limits_{i=1}^{15} a_i ^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $184$

함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[0, \;2]$ 에서 $f(x)= |x-1|$ 이고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(x+2)$ 를 만족시킬 때, 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=x+f(x)$ 라 하자. 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 $a, \;b$ 의 순서쌍 $(a, \;b)$ 의 개수를 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{15} a_n$ 의 값을 구하시오. (가) $n \leq a \leq n$ (나) \(0

두 등차수열 $\{a_n\}. \; \{b_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 각각 $S_n ,\; T_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\dfrac{S_n}{T_n} = \dfrac{3n-1}{5n+11}$ 일 때, $\dfrac{a_6}{b_6}$ 의 값은? ① $\dfrac{13}{28}$ ② $\dfrac{29}{61}$ ③ $\dfrac{16}{33}$ ④ $\dfrac{35}{71}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ③

좌표평면에서 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=x+n$ 과 $n$ 개의 원 $x^2+y^2=2k^2\; (k=1,\;2,\;3,\; \cdots,\;n)$ 의 서로 다른 교점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{20} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $230$

원 $\rm O$ 위에 두 점 $\rm A, \;B$ 가 있다. 점 $\rm A$ 에서 원 $\rm O$ 에 접하는 접선 $l$ 과 선분 $\rm AB$ 가 이루는 예각의 크기가 $18^{\rm o}$ 이다. 선분 $\rm OB$ 위의 한 점 $\rm C$ 에 대하여 삼각형 $\rm OAC$ 의 세 내각의 크기가 등차수열을 이룰 때, 가장 큰 내각의 크기는? ① $68^{\rm o}$ ② $72^{\rm o}$ ③ $76^{\rm o}$ ④ $80^{\rm o}$ ⑤ $84^{\rm o}$ 정답 ⑤

수열 $\dfrac{1}{2}, \; \dfrac{1}{3},\; \dfrac{1}{4}, \; \cdots$ 의 항 중에서 유한소수로 나타낼 수 있는 분수를 큰 수부터 차례대로 $a_1,\; a_2,\; a_3,\; \cdots$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 정답 ⑤

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $m$ 의 최댓값은? (단, $m$ 은 자연수이다.) (가) $a_{1}=100$ (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n-a_{n+1}=m$ (다) $k \leq m$ 인 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^{k}a_n>0$ 이다. ① $14$ ② $15$ ③ $16$ ④ $17$ ⑤ $18$ 정답 ①

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식 $\sum \limits_{i=1}^{2n+1} \dfrac{1}{n+i} = \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+ \cdots + \dfrac{1}{3n+1}>1$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 자연수$n$ 에 대하여 $a_n = \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{3n+1}$ 이라 할 때, $a_n >1$ 임을 보이면 된다. (1) $n=1$ 일 때, $a_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{4}>1$ 이다. (2) $n=k$ 일 때, $a_k >1$ 이라고 가정하면, $n=k+1$ 일 때 \(\beg..

함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \leq x < 1$ 에서 $f(x)=|2x|$ 이다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+2)=f(x)$ 이다. 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 함수 $y=\log_{2n} x$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{7} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $553$

자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 의 양의 약수의 개수를 $D(n)$ 이라 할 때, $S(n)$ 을 $S(n)=D(1)+D(2)+\cdots D(n)$ 으로 정의하자. $400$ 이하의 자연수 $n$ 중에서 $S(n)$ 의 값이 홀수가 되도록 하는 $n$ 의 개수를 구하시오. 정답 $210$