수악중독

\(n!=n\times(n-1)\times(n-1)\times \cdots \times 2 \times 1\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{100}(n!+n)\) 의 일의 자리 수는? ① \(0\) ② \(3\) ③ \(6\) ④ \(8\) ⑤ \(9\) 정답 ②

자연수 \(n\) 에 대하여 \([\sqrt[3]{x}]=n\) 을 만족하는 정수 \(x\) 의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{5} a_k\) 의 값을 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 정답 \(215\)

다음 그림은 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(1\) 부터 \(1\) 씩 증가하는 원들이 두 직선 \(y=\dfrac{3}{4}, \; y=0\) 과 만나는 점들의 일부를 \(\rm P_1\) 부터 시작하여 화살표 방향을 따라 \(\rm P_1, \;P_2,\;P_3,\; \cdots\) 으로 나타낸 것이다. 점 \(\rm P_{25}\) 의 \(x\) 좌표는? ① \(\dfrac{52}{5}\) ② \(11\) ③ \(\dfrac{56}{5}\) ④ \(12\) ⑤ \(\dfrac{64}{5}\) 정답 ①

두 함수 \(f(x)=2^x\) 과 \(g(x)=x-[x]\) 에 대하여 합성함수 \(y=(f\circ g)(x)\) 의 그래프와 직선 \(y=-\dfrac{1}{n}x+2 \;(n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 의 교점의 개수를 \(a_n\) 이라 하자. 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} a_n\) 의 값을 구하시오. (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 정답 \(65\)

등비수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 수열 \(\{2a_n - a_{n+1}\}\) 은 첫째항이 \(8\), 공비가 \(-2\) 인 등비수열을 이룬다. 이때, \(a_5\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

세 양수 \(a,\;b,\;c\) 는 이 순서대로 등비수열을 이루고, 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(a+b+c=\dfrac{7}{2}\) (나) \(abc=1\) \(a^2 +b^2 +c^2\) 의 값은? ① \(\dfrac{13}{4}\) ② \(\dfrac{15}{4}\) ③ \(\dfrac{17}{4}\) ④ \(\dfrac{19}{4}\) ⑤ \(\dfrac{21}{4}\) 정답 ⑤

선미는 문제 수가 \(x\) 인 수학책을 첫째 날에는 \(15\) 문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 \(d\) 만큼씩 증가시키면서 풀어 아홉째 날까지 문제를 풀고 나면 \(24\) 문제가 남게 된다. 또, 첫째 날에는 \(30\) 문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 \(d\) 만큼씩 증가시키면서 풀어 일곱째 날까지 문제를 풀고 나면 \(39\) 문제가 남게 된다. 선미가 풀고자 하는 이 수학책의 문제 수 \(x\) 를 구하시오. 정답 \(375\)

넓이가 \(A\) 인 원을 중심각이 \(\theta_1 , \; \theta_2 , \; \theta _3, \;\cdots,\; \theta_n\) 인 \(n\) 개의 부채꼴로 나누고 중심각이 \(\theta_k \; (k=1,\;2,\; \cdots,\;n)\) 인 부채꼴의 넓이를 \(A_k\) 이라 하자. 수열 \(\{\theta_n\}\) 이 등차수열을 이루고 \(\sum \limits_{k=1}^{n} \theta_k = 2\pi\) 이다. \(A_1 + A_n = \dfrac{1}{5}A\) 일 때, \(n\) 의 값은? ① \(8\) ② \(9\) ③ \(10\) ④ \(11\) ⑤ \(12\) 정답 ③

다음 그림과 같이 \(2\) 번 접어 세 겹으로 만든 리본을 가위로 평행하게 \(1\) 번, \(2\) 번, \(3\) 번, \(\cdots\) 자르면 리본은 각각 몇 개의 조각으로 나누어진다. 이와 같이 \(2\) 번 저버 세 겹으로 만든 리본을 가위로 평행하게 \(10\) 번 자를 때, 나누어진 리본의 최대 개수는? ① \(22\) ② \(25\) ③ \(28\) ④ \(31\) ⑤ \(34\) 정답 ④

좌표평면에서 자연수 \(n\) 에 대하여 점 \({\rm P}_n ,\; {\rm Q}_n\) 을 다음 규칙대로 잡는다. (가) 점 \(\rm P_1\) 의 좌표는 \((0,\;0)\) 이다. (나) 점 \({\rm P}_n\) 을 \(x\) 축의 방향으로 \(n\) 만큼, \(y\) 축의 방향으로 \(n\) 만큼 평힝이동시킨 점은 \({\rm Q}_n\) 이다. (다) 점 \({\rm Q}_n\) 을 \(x\) 축의 방향으로 \(-1\) 만큼, \(y\) 축의 방향으로 \(1\) 만큼 평행이동시킨 점은 \({\rm P}_{n+1}\) 이다. 점 \({\rm Q}_n\) 의 좌표를 \((a_n ,\; b_n)\) 이라 할 때, \(a_{21}+b_{21}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(464\)