수학1_수열_등비수열의 합_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 모양의 종이 \(\rm ABCD\) 에서 각 변의 중점을 각각 \(\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1\) 이라 하고 \(\overline{\rm A_1 B_1}, \; \overline{\rm B_1C_1}, \; \overline{\rm C_1D_1}, \; \overline{\rm D_1A_1}\) 을 접는 선으로 하여 네 점 \(\rm A, \; B, \; C, \; D\) 가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 \(S_1\) 이라 하자.

\(S_1\) 에서 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 의 각 변의 중점을 각각 \(\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2\) 이라 하고 \(\overline{\rm A_2 B_2}, \; \overline{\rm B_2C_2}, \; \overline{\rm C_2D_2}, \; \overline{\rm D_2A_2}\) 을 접는 선으로 하여 네 점 \(\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1\) 이 한 점에서 만나도록 접은 모양을 \(S_1\) 이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 모양을 \(S_n\) 이라 하고, \(S_n\) 을 정사각형 모양의 종이 \(\rm ABCD\) 와 같도록 펼쳤을 때 접힌 모든 선들의 길이의 합을 \(l_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(l_1=4\sqrt{2}\) 이다. \(l_5\) 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

① \(24+28\sqrt{2}\)          ② \(28+28\sqrt{2}\)          ③ \(28+32\sqrt{2}\)          

④ \(32+32\sqrt{2}\)          ⑤ \(36+32\sqrt{2}\)          

정답 ①