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목록(고1) 수학 - 문제풀이/도형의 방정식 (146)
수악중독
좌표평면 위에 네 점 $\rm A(-1, \; 4)$, $\rm B(-3, \; 0)$, $\rm C(0, \; -2)$, $\rm D(1, \; 3)$ 이 있다. 다음은 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 가 각각 네 변 $\rm PQ, \; QR, \; RS, \; SP$ 위에 있도록 하는 정사각형 $\rm PQRS$ 의 한 변의 길이를 구하는 과정이다. 점 $\rm A$ 를 지나고 두 점 $\rm B$ 와 $\rm D$ 를 지나는 직선에 수직인 직선 $l_1$ 의 방정식은 $y=\boxed{ (가) }$ 이다. 점 $\rm A$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\rm BD}$ 인 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 와 직선 $l_1$ 이 만나는 두 점 중 점 $..
그림과 같이 원 $x^2+y^2=25$ 위에 세 점 $\rm A(-5, \; 0)$, $\rm B(0, \; -5)$, $\rm C(4, \; 3)$ 이 있다. 점 $\rm B$ 를 포함하지 않는 호 $\rm AC$ 위에 점 $\rm P$ 가 있을 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 점 $\rm B$ 와 직선 $\rm AC$ 사이의 거리는 $2\sqrt{10}$ 이다. ㄴ. 사각형 $\rm PABC$ 의 넓이가 최대일 때, 직선 $\rm PB$ 와 직선 $\rm AC$ 는 서로 수직이다. ㄷ. 사각형 $\rm PABC$ 의 넓이의 최댓값은 $\dfrac{15 \left ( 3+ \sqrt{10} \right )}{2}$ 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 더보..
그림과 같이 원 $x^2+y^2=100$ 위에 $x$ 좌표가 각각 $3, \; 7$ 인 두 점 $\rm A_1, \; A_2$ 가 있다. 점 $\rm B(-10, \; 0)$ 을 지나고 두 직선 $\rm A_1B, \; A_2B$ 에 각각 수직인 두 직선이 원과 만나는 점 중 점 $\rm B$ 가 아닌 두 점을 각각 $\rm C_1, \; C_2$ 라 하자. 점 $\rm C_1$ 의 $y$ 좌표를 $a$, 점 $\rm C_2$ 의 $x$ 좌표를 $b$ 라 할 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, 두 점 $\rm A_1, \; A_2$ 는 제$1$사분면 위에 있다.) 더보기 정답 $140$
그림과 같이 $x$ 축과 직선 $l : y=mx \; (m>0)$ 에 동시에 접하는 반지름의 길이가 $2$ 인 원이 있다. $x$ 축과 원이 만나는 점을 $\rm P$, 직선 $l$ 과 원이 만나는 점을 $\rm Q$, 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 지나는 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. 삼각형 $\rm ROP$ 의 넓이가 $16$ 일 때, $60m$ 의 값을 구하시오. (단, 원의 중심은 제$1$사분면 위에 있고, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $80$
최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 이차함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 일치한다. 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$ 를 갖고, 함수 $h(x)$ 는 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (x \beta) \\ g(x) & (\alpha \le x \le \beta) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $h(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $h(x)=h(\beta)$ 는 서로 다른 세 실근을 갖고, 세 실근의 합은 $-4$ 이다. (나) 함수 $y=h(x)$ 의 그래프 위의 점 중에서 $y$ 좌표가 음의 정수인 점의 개수는 ..
두 직선 $l_1 : 2x+y+2=0, \; l_2 : x-2y-4=0$의 교점을 $\mathrm{A}$, 두 직선 $l_1, \; l_2$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$라 하자. 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원 위의 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\mathrm{Q}$는 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 무게중심이다. (나) 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $3$배이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 두 직선 $l_1, \; l_2$는 서로 수직이다. ㄴ. 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $2$이다...
두 양수 $a, \; b$에 대하여 원 $C : (x-1)^2+y^2=r^2$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 원을 $C'$이라 할 때, 두 원 $C, \; C'$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 원 $C'$은 원 $C$의 중심을 지난다. (나) 직선 $4x-3y+21=0$은 두 원 $C, \; C'$에 모두 접한다. $a+b+r$의 값을 구하시오. (단, $r$는 양수이다.) 더보기 정답 $12$
좌표평면 위에 두 점 ${\rm A} \left (0, \; \sqrt{3} \right ), \; {\rm B}(1, \; 0)$ 과 원 $C: (x-1)^2+(y-10)^2=9$ 가 있다. 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABP$ 의 넓이가 자연수가 되도록 하는 모든 점 $\rm P$ 의 개수는? ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 더보기 정답 ④
한 변의 길이가 $3$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $0
$1 \le a < b$ 인 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 세 집합 $$\begin{aligned} A &= \left \{ (x, \; y) \left | y=\dfrac{4}{3}x \text{ 이고 } (x+2)^2+(y+1)^2=1 \right .\right \}, \\[10pt] B &= \left \{ (x, \; y) \left | y=\dfrac{4}{3}x \text{ 이고 } (x-a-1)^2+(y-a)^2=a^2 \right .\right \}, \\[10pt] C &= \left \{ (x, \; y) \left | y=\dfrac{4}{3}x \text{ 이고 } (x-b-1)^2+(y-b)^2=b^2 \right .\right \}\end{aligned}$$ 가 있다. $..