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목록2021/04 (21)
수악중독
실수 $a$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$f(x)=3x+a, \; \; g(x)=\displaystyle \int_2^x (t+a)f(t)dt$$ 라 하자. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(-1)$ 의 최솟값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) 곡선 $y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이 $x$ 축이다. (나) 곡선 $y=|h(x)|$ 가 $x$ 축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 $4$ 이다. 더보기 정답 $251$
그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 $\rm A$ 지점에서 출발하여 $\rm P$ 지점을 지나 $\rm B$ 지점으로 갈 때, 한 번 지난 도로는 다시 지나지 않으면서 최단거리로 가는 경우의 수는? ① $78$ ② $82$ ③ $86$ ④ $90$ ⑤ $94$ 더보기 정답 ⑤
두 남학생 $\rm A, \; B$ 를 포함한 $4$ 명의 남학생과 여학생 $\rm C$ 를 포함한 $4$ 명의 여학생이 있다. 이 $8$ 명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) (가) $\rm A$ 와 $\rm B$ 는 이웃한다. (나) $\rm C$ 는 여학생과 이웃하지 않는다. 더보기 정답 $288$
다음 조건을 만족시키는 $14$ 이하의 네 자연수 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4$ 의 모든 순서쌍 $(x_1, \; x_2, \; x_3, \; x_4)$의 개수를 구하시오. (가) $x_1+x_2+x_3+x_4=34$ (나) $x_1$ 과 $x_3$ 는 홀수이고, $x_2$ 와 $x_4$ 는 짝수이다. 더보기 정답 $206$
그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1B_1$ 을 지름으로 하는 원 $O_1$ 이 있다. 원 $O_1$ 의 외부에 $\angle {\rm B_1A_1C_1}=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{\rm A_1B_1}:\overline{\rm A_1C_1}=4:3$ 이 되도록 $\rm C_1$ 을 잡고 두 선분 $\rm A_1C_1, \; B_1C_1$ 을 그린다. 원 $O_1$ 과 선분 $\rm B_1C_1$ 의 교점 중 $\rm B_1$ 이 아닌 점을 $\rm D_1$ 이라 하고, 점 $\rm D_1$ 을 포함하지 않는 호 $\rm A_1B_1$ 과 두 선분 $\rm A_1D_1, \; B_1D_1$ 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1..
그림과 같이 $\angle{\rm BAC} = \dfrac{2}{3}\pi$ 이고 $\overline{\rm AB} > \overline{\rm AC}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\overline{\rm BD}=\overline{\rm CD}$ 인 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 $\angle{\rm CBD}=\alpha, \; \angle{\rm ACD}=\beta$ 라 하자. $\cos ^2 \alpha = \dfrac{7+\sqrt{21}}{14}$ 일 때, $54 \sqrt{3} \times \tan \beta$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$
함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2} \; \; (a, \; b\; 는 \; 양의\; 실수)$$ 라 하자. 자연수 $m$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$ 의 실근의 개수를 $c_m$ 이라 할 때, $c_k=5$ 인 자연수 $k$ 가 존재한다. $k+\sum \limits_{m=1}^\infty (c_m-1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $13$
좌표평면에서 두 점 ${\rm F} \left ( \dfrac{9}{4}, \; 0 \right ), \; {\rm F'} (-c, \; 0) \;\; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$ 가 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\rm P$ 라 하자. $\overline{\rm PF}=\dfrac{25}{4}$ 이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 점 $\rm F'$ 을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? ① $13$ ② $\dfrac{27}{2}$ ③ $14$ ④ $\dfrac{29}{2}$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ⑤
좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$, ${\rm B}(1, \; 0)$, ${\rm C}(2, \; 1)$, ${\rm D}(0, \; 1)$ 이 있다. 반원의 호 $(x+1)^2 +y^2=1 \;\; (0 \le y\le 1)$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 삼각형 $\rm BCD$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하셔 $\left | \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm AQ} \right |$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt{q}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $115$
그림과 같이 두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0)\;\;(c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 직선 $\rm FP$ 와 직선 $\rm F'P$ 에 동시에 접하고 중심이 선분 $\rm F'F$ 위에 있는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심을 $\rm C$, 직선 $\rm F'P$ 가 원 $C$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, $2\overline{\rm PQ}=\overline{\rm PF}$ 이다. $24 \times \overline{\rm CP}$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 제$1$사분면 위의 점이다.) 더보기 정답 $63$