수악중독

전체집합 $U$ 의 두 부분집합 $A, \; B$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 집합 $B$ 의 모든 원소의 합을 구하시오. (가) $A=\{3, \; 4, \; 5\}$, $A^C \cup B^C = \{1, \; 2, \; 4\}$ (나) $X \subset U$ 이고 $n(X)=1$ 인 모든 집합 $X$ 에 대하여 집합 $(A \cup X) - B$ 의 원소의 개수는 $1$ 이다. 더보기 정답 $11$

최고차항의 계수가 $-3$ 인 삼차함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점 $(2, \; f(2))$ 에서의 접선 $y=g(x)$ 가 곡선 $y=f(x)$ 와 원점에서 만난다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=g(x)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① $\dfrac{7}{2}$ ② $\dfrac{15}{4}$ ③ $4$ ④ $\dfrac{17}{4}$ ⑤ $\dfrac{9}{2}$ 더보기 정답 ③

자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 직선 $y=nx$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 하자. 다음은 삼각형 ${\rm A}_n{\rm OB}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3}$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 $y=nx$ 에 수직인 직선의 방정식은 $$y= \boxed{\; (가) \; } \times x +n^2+1$$ 이므로 두 점 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 의 좌표를 이용하여 $S_n..

그림과 같이 두 점 $\rm O, \; O'$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$ 인 두 원$O, \; O'$ 이 한 평면 위에 있다. 두 원 $\rm O, \; O'$ 이 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\angle {\rm AOB} = \dfrac{5}{6} \pi$ 이다. 원 $O$ 의 외부와 원 $O'$의 내부의 공통부분의 넓이를 $S_1$, 마름모 $\rm AOBO'$ 의 넓이를 $S_2$ 라 할 때, $S_1 - S_2$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{4}\pi$ ② $\dfrac{4}{3}\pi$ ③ $\dfrac{17}{12}\pi$ ④ $\dfrac{3}{2}\pi$ ⑤ $\dfrac{19}{12}\pi$ 더보기 정답 ④

실수 $m$ 에 대하여 직선 $y=mx$ 와 함수 $$f(x)=2x+3+|x-1|$$ 의 그래프의 교점의 개수를 $g(m)$ 이라 하자. 최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $h(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $h(5)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $8$

그림과 같이 두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0)$ 이고 장축의 길이가 $12$ 인 타원이 있다. 점 $\rm F$ 가 초점이고 직선 $x=-k\; (k>0)$ 이 준선인 포물선이 타원과 제 $2$ 사분면의 점 $\rm P$ 에서 만난다. 점 $\rm P$ 에서 직선 $x=-k$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos (\angle {\rm F'FP} ) = \dfrac{7}{8}$ (나) $\overline{\rm FP} - \overline{\rm F'Q} = \overline{\rm PQ} - \overline{\rm FF'}$ $c+k$ 의 값을 구하시오. 더보기 ..

두 초점이 ${\rm F}_1(c, \; 0), \; {\rm F}_2(-c, \; 0)$ 인 타원이 $x$ 축과 두 점 ${\rm A}(3, \; 0), \; {\rm B}(-3, \; 0)$ 에서 만난다. 선분 $\rm BO$ 가 주축이고, 점 $\rm F_1$ 이 한 초점이 쌍곡선의 초점 중 ${\rm F}_1$ 이 아닌 점을 ${\rm f}_3$ 이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\rm P$ 라 할 때, 삼각형 $\rm PF_3F_2$ 의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $12$

자연수 $n$ 에 대하여 초점이 $\rm F$ 인 포물선 $y^2=2x$ 위의 점 ${\rm P}_n$ 이 $\overline{{\rm FP}_n}=2n$ 을 만족시킬 때, $\sum \limits_{n=1}^8 \overline{{\rm OP}_n}^2$ 의 값은 (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 ${\rm P}_n$ 은 제 $1$ 사분면에 있다.) ① $874$ ② $876$ ③ $878$ ④ $880$ ⑤ $882$ 더보기 정답 ⑤

자연수 $n$ 에 대하여 삼차함수 $f(x)=x(x-n)\left (x-3n^2 \right )$ 이 극대가 되는 $x$ 를 $a_n$ 이라 하자. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=f(a_n)$ 의 근 중에서 $a_n$ 이 아닌 근을 $b_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3} = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $5$

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left (2n, \; 4n^2 \right )$ 에서의 접선과 수직이고 점 ${\rm Q}_n \left (0, \; 2n^2 \right )$ 을 지나는 직선을 $l_n$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 점 ${\rm Q}_n$ 에서 직선 $l_n$ 과 접하는 원을 $C_n$ 이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$ 의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $12$