행렬과 그래프_역행렬_난이도 상

다음은 이차정사각행렬 $A$ 와 서로 다른 수 실수 $p,\;q$ 에 대하여 $A-pE$ 와 $A-qE$ 가 모두 역행렬을 갖지 않으면 $A^2 -(p+q)A+pqE=O$ 임을 증명한 것이다. (단, $E$ 는 단위행렬이고, $O$ 는 영행렬이다.)

$B=A- \dfrac{p+q}{2}E,\;\; K= \; (가) \;$ 라 하면

$B-kE=A-pE$ 이고 $B+kE=A-qE$ 이므로

$B-kE$ 와 $B+kE$ 는 모두 역행렬을 갖지 않는다.

따라서 \(  B= \left ( \matrix{a & b \\ c & d} \right ) \) 라 하면, $k \ne 0$ 이므로

$a+d=(나)$ 이고, $ad-bc=-k^2$ 이다.

그런데 $B^{-1} = \dfrac{1}{k^2} \;(다)$ 이므로

$A^2 -(p+q)A + pqE= (A-pE)(A-qE)=O$ 가 성립한다. 

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	$\dfrac{p-q}{2}$	$0$	$-B$
②	$\dfrac{p+q}{2}$	$0$	$-B$
③	$\dfrac{p-q}{2}$	$0$	$B$
④	$\dfrac{p+q}{2}$	$1$	$-B$
⑤	$\dfrac{p-q}{2}$	$1$	$B$

정답 ③