수악중독

한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형과 한 변의 길이가 \(1\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. [그림 1]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 \(\rm ABC\) 를 회전시킨다. 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 \(n\) 바퀴 도는 동안, 변 \(\rm BC\) 가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 \(a_n\) 이라 하자. 예를 들어, \(n=1\) 일 때, [그림 2]와 같이 변 \(\rm BC\) 가 \(2\) 회 놓이므로 \(a_1 =2\) 이다. 이때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{3n-2}}{n}\) 의 값은? ① \(8\) ② \(10\) ③ \(12\) ④ \(14\) ..

수열 \(\{a_n\}\) 에서 \[\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k }{k!} = \left ( n+ \dfrac{3}{2} \right ) ^2 \;\; (n=1,\;2,\;3,\; \cdots )\] 일 때, \(\dfrac{4}{5}a_1 +a_4\) 의 값은? ① \(197\) ② \(198\) ③ \(199\) ④ \(200\) ⑤ \(201\) 정답 ①

자연수 \(n\) 에 대하여 연립부등식 \[ \dfrac{|x|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2n-1}} + \dfrac{|y|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{2n}} \leq 1, \;\;\;\; \dfrac{|x|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2n+1}} + \dfrac{|y|}{\left ( \dfrac{1}{2} \right ) ^{2n}} \geq 1 \] 을 만족시키는 좌표평면 위의 점 \((x,\; y)\) 가 나타내는 영역의 넓이를 \(a_n\) 이라 하자. 수열 \(\{ a_n\}\) 의 첫째항부터 제\(n\) 항까지의 합 \(S_n\) 에 대하여 \(\log _{\frac{1}{2}} (1-5S_{10..

다음과 같이 소수점 아래에 \(0\) 과 \(1\) 의 개수를 한 개씩 늘려가면서 교대로 나열하여 만든 실수 \(x\) 가 있다. \[x=0.01001100011100001111\cdots\] 실수 \(x\) 의 소수점 아래 \(n\) 째 자리의 수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{k=1}^{m} a_k a_{k+1} =50\) 을 만족시키는 자연수 \(m\) 의 값을 구하시오. 정답 \(126\)

실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(a)\) 를 \[ f(a)=\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{a^{n+1} +a^{-n} -1}{a^n +a^{-n+1} +1} \] 로 정의할 때, \(f \left ( f \left ( -\dfrac{1}{2} \right ) \right ) \) 의 값은? (단, \(a \ne 0\) ) ① \(-2\) ② \(-\dfrac{1}{2}\) ③ \(0\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(2\) 정답 ①

그림과 같이 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형 \(\rm A_1 B_1 C_1 D_1\) 에 대하여 점 \({\rm A}_{n+1}\), \( {\rm B}_{n+1}\), \( {\rm C}_{n+1}\), \( {\rm D}_{n+1}\) 을 다음 조건을 만족시키도록 정한다. (단, \(n=1, \;2, \;3, \cdots\) ) (가) 네 개의 삼각형 \({\rm A}_n {\rm B}_n {\rm A}_{n+1}\), \({\rm B}_n {\rm C}_n {\rm B}_{n+1}\), \({\rm C}_n {\rm D}_n {\rm C}_{n+1}\), \({\rm D}_n {\rm A}_n {\rm D}_{n+1}\) 은 두 내각의 크기가 \(30^{\rm o}\) 로 같은 이등변삼각형..

\(0\) 또는 \(3\) 으로만 이루어진 수열 \(\{a_n \}\) 이 있다. 무한급수 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n}{5^n}= \dfrac{5}{8}\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{2012} a_n\) 의 값은? ① \(503\) ② \(1006\) ③ \(1509\) ④ \(2012\) ⑤ \(3018\) 정답 ⑤

첫째항이 \(2\) 인 두 등비수열 \(\{a_n \} ,\; \{ b_n \}\) 이 다음을 만족한다.\[\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n =4,\;\; \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n =6\] 이때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( a_n -b_n \right ) ^2\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{12}\) ② \(\dfrac{8}{15}\) ③ \(\dfrac{2}{3}\) ④ \(\dfrac{3}{4}\) ⑤ \(\dfrac{7}{8}\) 정답 ②

곡선 \(y=a^x \; (a>1)\) 과 곡선 \(y=\dfrac{1}{x}\) 의 교점을 \(\rm P\) 라 하고, 곡선 \(y=-\left ( \dfrac{1}{a} \right )^x \) 과 곡선 \(y=\dfrac{1}{x}\) 의 교점을 \(\rm Q\) 라 하자. \(\overline{\rm PQ} = \sqrt{17}\) 일 때, \(a\) 의 값은? ① \(\sqrt{2}\) ② \(2\) ③ \(2\sqrt{2}\) ④ \(4\) ⑤ \(4\sqrt{2}\) 정답 ④ (보충설명) \(y=- \left (\dfrac{1}{a} \right ) ^x\) 는 \(y=a^x\) 을 원점을 중심으로 대칭이동한 그래프이다. 또한 \(y=\dfrac{1}{x}\) 은 그 자체가 원점에 대칭인 함..

오른쪽 순서도에서 인쇄되는 \(n\) 의 값을 구하시오. (단, \(50!=50 \times 49 \times 48 \times \cdots \times 2 \times 1\) ) 정답 \(22\)