수악중독

그림과 같이 자연수 \(n\) 에 대하여 곡선 \(y=2^x\) 위의 점 \({\rm A}_n\) 을 지나고 \(y\) 축에 수직인 직선이 곡선 \(y=3^x\) 과 만나는 점을 \({\rm B}_n\) 이라 하자. 또, 점 \({\rm B}_n\) 을 지나고 \(x\) 축에 수직인 직선이 곡선 \(y=2^x\) 과 만나는 점을 \({\rm A}_{n+1}\) 이라 하자. 점 \(\rm A_1\) 의 \(x\) 좌표가 \(1\) 일 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10} \overline{{\rm A}_n {\rm B}_n}\) 의 값은? ① \(1-\log_3 2\) ② \(\log_2 3 -1\) ③ \(\left ( \log_2 3 \right )^{10} -1\) ④ \(1- \lef..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 등식 \[\sum \limits_{k=1}^n (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(n+5)}{2}\] 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, (좌변)=\(3\), (우변)=\(3\) 이므로 주어진 등식이 성립한다. (ii) \(n=m\;(n \geq 1)\) 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 \[\sum \limits_{k=1}^m (2k+1) \left ( \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} +\cdots + \dfrac{1}..

연립방정식 \[\left \{ {\begin{array}{ll}{\left| {{{\log }_2}x} \right| + \left| {{{\log }_2}y} \right| = 1} \\ {8{\log_2}x \cdot {{\log }_2}y = {{\left( {{{\log }_2}{x^2}{y^2}} \right)}^2}} \end{array}} \right.\] 의 해가 \(x=x_1 , \; y=y_1\) 또는 \(x=x_2 ,\; y=y_2\) 일 때, \(\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) 의 값은? ① \(2^{\frac{1}{3}} - 2^{-\frac{1}{3}} \) ② \(2^{\frac{1}{3}} + 2^{-\frac{1}{3}} \) ③ \(2^{\frac{..

그림과 같이 원점을 지나고 함수 \(y=\log_2 (x+1)\) 의 그래프와 각각 두 점에서 만나는 두 직선이 있다. 이 두 직선이 함수 \(y=\log_2 (x+1)\) 의 그래프와 만나는 원점 \(\rm O\) 가 아닌 교점을 각각 \(\rm A, \; B\)라 하자. 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 \(x\) 좌표를 각각 \(a, \; b\) 라 할 때, 세 수, \(2^{ab}, \; (a+1)^b , \; (b+1)^a\) 의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? (단, \(-1

곡선 \(y=\log _2 x \) 와 곡선 \(y=\dfrac{1}{x}\) 의 교점을 \({\rm P} (a,\;b)\) 라 하고 점 \(\rm P\) 와 점 \({\rm Q}(b, \;\log _2 b ) \) 를 지나는 직선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(\rm R\) 라 하자. \(\dfrac{\overline{\rm PR}}{\overline{\rm QR}}\) 의 값은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{4}{5}\) ③ \(1\) ④ \(\dfrac{6}{5}\) ⑤ \(\dfrac{3}{2}\) 정답 ③

직선 \(y=-x+k\) 가 두 곡선 \(y+2^x , \; y=\log _2 x\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm A, \; B\) 라 하고 직선 \(y= -x+k+4\) 가 두 곡선 \(y=2^x ,\; y=\log _2 x\) 와 만나는 점을 각각 \(\rm C, \; D\) 라 하자. 사각형 \(\rm ABCD\) 가 직사각형일 때, \(k\) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{3}+ \log _2 \dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{2}{3}+ \log _2 \dfrac{2}{3}\) ③ \(1+ \log _2 \dfrac{2}{3}\) ④ \(\dfrac{4}{3}+ \log _2 \dfrac{2}{3}\) ⑤ \(\dfrac{5}{3}+ \log _2 \dfrac{2}{3}\)..

양수 \(x\) 에 대하여 \(\log x\) 의 가수를 \(f(x)\) 라 할 때, 부등식 \(f(2x)+f(x) \leq 1\) 을 만족시키는 \(100\) 보다 작은 자연수 \(x\) 의 개수를 구하시오. 정답 \(39\) 개

\(x\) 에 대한 방정식 \(4^x -k \cdot 2^{x-1} +k=0\) 이 서로 다른 두 양의 실근을 가지기 위한 정수 \(k\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 \(17\)

민영이는 \(K\) 은행의 아름다운 통장에 \(2011\) 년 초부터 \(2020\) 년 초까지 매년 초에 \(a\) 만 원씩 적립한 후 \(2020\) 년 말에 이 통장에 있는 모든 돈을 찾아서 \(2021\) 년 초에 미래연금통장에 입금하여 \(2021\) 년 말부터 \(2030\) 년 말까지 매년 \(954\) 만 원씩 연금을 받으려고 한다. 두 개의 통장 모두 연이율 \(6%\) 로 \(1\) 년마다 복리로 계산할 때, \(a\) 의 값은? (단, \((1.06)^{10} =1.8\) 로 계산하고, \(2030\) 년 말에 마지막으로 연금을 받고 나면 미래연금통장의 잔액은 \(0\) 원이다.) ① \(400\) ② \(450\) ③ \(500\) ④ \(550\) ⑤ \(600\) 정답 ③

\(5^x =3^{\frac{1}{y}} = 2^{-\frac{z}{2}} \) 을 만족시키는 \(0\) 이 아닌 세 실수 \(x, \;y,\;z\) 에 대하여 \(xy+2x=1\) 이 성립할 때, \(2^{z+1}\) 의 값은? ① \(\dfrac{4}{5}\) ② \(\dfrac{5}{6}\) ③ \(\dfrac{6}{5}\) ④ \(\dfrac{12}{5}\) ⑤ \(\dfrac{5}{2}\) 더보기 정답 ③