수악중독

두 이차정사각행렬 \(A, \;B\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A^2 = 2A+E\)(나) \( AB=2E\)(다) 행렬 \(A\) 의 모든 성분의 합은 \(7\) 이다. 행렬 \(B\) 의 모든 성분의 합은? (단, \(E\) 는 단위행렬이다.) ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ①

이차정사각행렬 \(A, \;B\) 가 \[A^2 +B^2 = \left ( \matrix{5 & 0 \\ \frac{3}{2} & 1} \right ) , \;\; AB+BA= \left ( \matrix { -4 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0} \right ) \] 을 만족시킬 때, 행렬 \((A+B)^{100}\) 의 모든 성분의 합을 구하시오. 정답 \(52\)

두 이차정사각행렬 \(A, \; B\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(A \left ( \matrix {1 \\ 1} \right ) = B \left ( \matrix {3 \\ 3} \right ) \) (나) \(A^2 -3AB+B^2 = E\) \(BA \left ( \matrix {5 \\5 } \right ) = \left ( \matrix{p \\q} \right ) \) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(30\)

자연수 \(n\) 에 대하여 직선 \(y=n\) 과 함수 \(y= \tan x\) 의 그래프가 제 \(1\) 사분면에서 만나는 점의 \(x\) 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(n\) 번째 수를 \(a_n\) 이라 하자. \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}\) 의 값은? ① \(\dfrac{\pi}{4}\) ② \(\dfrac{\pi}{2}\) ③ \(\dfrac{3}{4} \pi \) ④ \(\pi\) ⑤ \(\dfrac{5}{4} \pi \) 정답 ④

좌표평면에서 \(a>1\) 인 자연수 \(a\) 에 대하여 두 곡선 \(y=4^x , \; y=a^{-x+4}\) 과 직선 \(y=1\) 로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 \(x\) 좌표와 \(y\) 좌표가 모두 정수인 점의 개수가 \(20\) 이상 \(40\) 이하가 되도록 하는 \(a\) 의 개수를 구하시오. 정답 \(15\)

연립방정식 \[\left\{ {\begin{array}{ll}{{{\log }_2}\left( {x - 2} \right) = {{\log }_4}y}\\{\left| {x - y} \right| + \left| {x + y} \right| = 6}\end{array}} \right.\]을 만족시키는 두 실수 \(x, \;y\) 의 순서쌍 \((x, \;y)\) 의 개수는? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n \}\) 에 대하여 수열 \(\{b_n \}\) 을 다음과 같이 정의하다. \[{b_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}{{{\log }_2}{a_n}}&{\left( {n은 \; 홀수} \right)}\\{{2^{{a_n}}}}&{\left( {n은 \; 짝수} \right)}\end{array}} \right.\] 이때 수열 \(\{b_{2n-1}\}\) 은 공차가 \(3\) 인 등차수열이고, 수열 \(\{b_{2n}\}\) 은 공비가 \(3\) 인 등비수열이라 하자. \(a_1 =a_2 \) 이고 \(b_{2011}=3016\) 일 때, \(b_{2014}\) 의 값은? ① \(2 \cdot 3^{1005}\) ② \(4 \cdot 3^{10..

용량이 \(2000 \rm L\) 인 석유 저장 탱크에 첫째 날 석유 \(100 \rm L\) 를 채우고, 둘째 날은 첫째 날 채운 양의 \(\dfrac{1}{2}\) 을 채운다. 셋째 날은 둘째 날까지 채운 양의 \(\dfrac{1}{3}\), 넷째 날은 셋째 날까지 채운 양의 \(\dfrac{1}{4}, \; \cdots, \; n\; (n \geq 2)\) 째 날에는 \((n-1)\) 째 날까지 채운 양의 \(\dfrac{1}{n}\) 을 채운다. 이때 채운 석유의 양의 총합이 저장 탱크의 절반 이상이 되는 날은 몇 일 째인가? (단, 처음 저장 탱크는 비어 있고, 자연 증발하는 양은 없다.) ① \(17\) ② \(19\) ③ \(21\) ④ \(23\) ⑤ \(25\) 정답 ②

그림과 같이 \(\angle \rm B=90^o\) 이고 선분 \(\rm BC\) 의 길이가 \(6\sqrt{5}\) 인 직각삼각형 \(\rm ABC\) 의 꼭짓점 \(\rm B\) 에서 빗변 \(\rm AC\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm D\) 라 하자. 세 선분 \(\rm AD, \; CD, \; AB\) 의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 선분 \(\rm AC\) 의 길이를 구하시오. 정답 \(18\)

다음과 같은 규칙에 따라 자연수를 차례로 나열한다. (가) \(1\) 행에는 \(1\) 과 \(2\) 를 차례로 나열한다. (나) \(2\) 행에는 \(1\) 행의 수 \(1\) 과 \(2\) 를 차례로 나열한 후 그 사이에 \(3\) 을 나열한다. (다) \(3\) 행에는 \(2\) 행의 수 \(1,\;3,\;2\) 를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 \(4\) 와 \(5\) 를 나열한다. (라) \((n+1)\) 행에는 \(n\) 행의 수를 차례로 나열한 후 그 사이사이에 왼쪽부터 차례로 \(n\) 행에 마지막으로 나열된 수보다 \(1\) 큰 수부터 나열한다. 위와 같은 방법으로 수를 나열하면 다음과 같고 \(4\) 행의 \(4\) 번째 수는 \(7\) 이다. 이때, \(11\) 행의..