수악중독

함수 $f(x)=a \cos x + x \sin x +b$ 와 $-\pi

자연수 $n$에 대하여 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}_n$을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) $\mathrm{A}_1$은 원점이다. (나) $n$이 홀수이면 $\mathrm{A}_{n+1}$은 점 $\mathrm{A}_n$을 $x$축의 방향으로 $a$ 만큼 평행이동한 점이다. (다) $n$이 짝수이면 $\mathrm{A}_{n+1}$은 점 $\mathrm{A}_n$을 $y$축의 방향으로 $a+1$ 만큼 평행이동한 점이다. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_{2n}}}{n}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$일 때, 양수 $a$의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{7}{4}$ ③ $..

실수 $t$에 대하여 직선 $y=tx-2$가 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+1}-1}{x^{2n}+1}$$의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t=a$에서 불연속인 모든 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1, \; a_2, \; \cdots, \; a_m$ ($m$은 자연수)라 할 때, $m \times a_m$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $28$

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 곡선 $$T_n\; : \; y=\dfrac{\sqrt{3}}{n+1}x^2\; (x \ge 0)$$위에 있고 원점 $\rm O$와의 거리가 $2n+2$인 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_n$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_n$이라 하자. 중심이 $\mathrm{P}_n$이고 점 $\mathrm{H}_n$을 지나는 원을 $C_n$이라 할 때, 곡선 $T_n$과 원 $C_n$의 교점 중 원점에 가까운 점을 $\mathrm{Q}_n$, 원점에서 원 $C_n$에 그은 두 접선의 접점 중 $\mathrm{H}_n$이 아닌 점을 $\mathrm{R}_n$이라 하자. 점 $\mathrm{R}_n$을 포함하지 않는 호 $\..

함수 $f(x)=6\pi(x-1)^2$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=3f(x)+4 \cos f(x)$$ 라 하자. $0

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $\angle \rm PAB=\theta, \; \angle QBA=2\theta$ 가 되도록 잡고, 두 선분 $\rm AB, \; BQ$ 의 교점을 $\rm R$ 이라 하자. 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm S$, 선분 $\rm BR$ 위의 점 $\rm T$, 선분 $\rm AR$ 위의 점 $\rm U$ 를 선분 $\rm UT$ 가 선분 $\rm AB$ 에 평행하고 삼각형 $\rm STU$ 가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $\rm AR, \; QR$ 와 호 $\rm AQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm STU$..

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=1, \; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{5}{4}$ (나) 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(2x)=2f(x)$ 이다. $\displaystyle \int_1^8 xf'(x) dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $143$

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=1$, $\overline{\rm BC}=2$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 선분 $\rm AC$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하고, 점 $\rm M$ 을 지나고 선분 $\rm AB$ 에 평행한 직선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. $\angle \rm BAC$ 의 이등분선이 두 직선 $\rm BC, \; DM$ 과 만나는 점을 각각 $\rm E, \; F$ 라 하자. $\angle \rm CBA=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm ABE$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm DFC$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\..

함수 $f(x)=\sin (ax) \; (a \ne 0)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$ 의 값의 합을 구하시오. (가) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{a}} f(x) dx \ge \dfrac{1}{2}$ (나) $0

서로 다른 두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x) = -\dfrac{ax^3+bx}{x^2+1}$$ 라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x) \ne 0$ 이고, 두 함수 $g(x)=f(x)-f^{-1}(x), \; h(x)=(g \circ f)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(2)=h(0)$ (나) $g'(2)=-5h'(2)$ $4(b-a)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$