수악중독

$t> \dfrac{1}{2} \ln 2$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y= \ln \left ( 1+ e^{2x}-e^{-2t} \right )$ 과 직선 $y=x+t$ 가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$ 라 할 때, $f'(\ln 2)= \dfrac{q}{p} \sqrt{2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $11$

그림과 같이 곡선 $y=x \sin x$ 위의 점 $ {\rm P}(t, \; t\sin t)\;\;(0

실수 $a$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$f(x)=3x+a, \; \; g(x)=\displaystyle \int_2^x (t+a)f(t)dt$$ 라 하자. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(-1)$ 의 최솟값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) 곡선 $y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이 $x$ 축이다. (나) 곡선 $y=|h(x)|$ 가 $x$ 축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 $4$ 이다. 더보기 정답 $251$

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1B_1$ 을 지름으로 하는 원 $O_1$ 이 있다. 원 $O_1$ 의 외부에 $\angle {\rm B_1A_1C_1}=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{\rm A_1B_1}:\overline{\rm A_1C_1}=4:3$ 이 되도록 $\rm C_1$ 을 잡고 두 선분 $\rm A_1C_1, \; B_1C_1$ 을 그린다. 원 $O_1$ 과 선분 $\rm B_1C_1$ 의 교점 중 $\rm B_1$ 이 아닌 점을 $\rm D_1$ 이라 하고, 점 $\rm D_1$ 을 포함하지 않는 호 $\rm A_1B_1$ 과 두 선분 $\rm A_1D_1, \; B_1D_1$ 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1..

그림과 같이 $\angle{\rm BAC} = \dfrac{2}{3}\pi$ 이고 $\overline{\rm AB} > \overline{\rm AC}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\overline{\rm BD}=\overline{\rm CD}$ 인 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 $\angle{\rm CBD}=\alpha, \; \angle{\rm ACD}=\beta$ 라 하자. $\cos ^2 \alpha = \dfrac{7+\sqrt{21}}{14}$ 일 때, $54 \sqrt{3} \times \tan \beta$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$

함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2} \; \; (a, \; b\; 는 \; 양의\; 실수)$$ 라 하자. 자연수 $m$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$ 의 실근의 개수를 $c_m$ 이라 할 때, $c_k=5$ 인 자연수 $k$ 가 존재한다. $k+\sum \limits_{m=1}^\infty (c_m-1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $13$

자연수 $n$ 에 대하여 삼차함수 $f(x)=x(x-n)\left (x-3n^2 \right )$ 이 극대가 되는 $x$ 를 $a_n$ 이라 하자. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=f(a_n)$ 의 근 중에서 $a_n$ 이 아닌 근을 $b_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3} = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $5$

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left (2n, \; 4n^2 \right )$ 에서의 접선과 수직이고 점 ${\rm Q}_n \left (0, \; 2n^2 \right )$ 을 지나는 직선을 $l_n$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 점 ${\rm Q}_n$ 에서 직선 $l_n$ 과 접하는 원을 $C_n$ 이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$ 의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $12$

자연수 $n$ 에 대하여 $\angle {\rm A} = 90^{\rm o}, \; \overline{\rm AB}=2, \; \overline{\rm CA}=n$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에서 $\angle {\rm A}$ 의 이등분선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 선분 $\rm CD$ 의 길이를 $a_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} (n-a_n)$ 의 값은? ① $1$ ② $\sqrt{2}$ ③ $2$ ④ $2\sqrt{2}$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ③

두 함수 $f(x)=x^2-ax+b \; (a>0), \; g(x) = x^2 e^{-\frac{x}{2}} $ 에 대하여 상수 $k$ 와 함수 $h(x)=(f \circ g)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $h(0) < h(4)$ (나) 방정식 $|h(x)|=k$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $7$ 이고, 그 중 가장 큰 실근을 $\alpha$ 라 할 때 함수 $h(x)$ 는 $x=\alpha$ 에서 극소이다. $f(1)=-\dfrac{7}{32}$ 일 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+16b$ 의 값을 구하시오. (단, $\dfrac{5}{2} < e