수악중독

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 $g(x) \ge 0$ 인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \le -3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(-3)$ 이다. (나) $x>-3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x+3) \{f(x)-f(0) \}^2 = f'(x)$ 이다. $\displaystyle \int_4^5 g(x)dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $283$

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(-x)=f(x)$ (나) $f(x+2)=f(x)$ $\displaystyle \int_{-1}^5 f(x)(x+\cos2\pi x )dx = \dfrac{47}{2}, \; \int_0^1 f(x)dx = 2$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f'(x) \sin 2\pi x dx$ 의 값은? ① $\dfrac{\pi}{6}$ ② $\dfrac{\pi}{4}$ ③ $\dfrac{\pi}{3}$ ④ $\dfrac{5}{12}\pi$ ⑤ $\dfrac{\pi}{2}$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 호 $\rm AP$ 위에 점 $\rm Q$ 를 호 $\rm PB$ 와 호 $\rm PQ$ 의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 $\rm AP, \; BQ$ 가 만나는 점을 $\rm R$ 라 하고 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm BAP = \theta$ 라 할 때, 두 선분 $\rm PR, \; QR$ 와 호 $\rm PQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 두 선분 $\rm PS, \; BS$ 와 호 $\rm BP$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를..

최고차항의 계수가 $3$보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=e^x f(x)$$ 이다. 양수 $k$ 에 대하여 집합 $\{x | g(x)=k, \; x\text{는 실수}\}$ 의 모든 원소의 합을 $h(k)$ 라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(k)$ 가 $k=t$ 에서 불연속인 $t$ 의 개수는 $1$ 이다. (나) $\lim \limits_{k \to 3e+} h(k) - \lim \limits_{k \to 3e-}h(k)=2$ $g(-6) \times g(2)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to -\infty}x^2e..

최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \ln |f(x)| & (f(x) \ne 0) \\ 1 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $g(x)$ 의 극솟값은? (가) 함수 $g(x)$ 는 $x \ne 1$ 인 모든 실수 $x$ 에서 연속이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극대이고, 함수 $|g(x)|$ 는 $x=2$ 에서 극소이다. (다) 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다. ① $\ln \dfrac{13}{27}$ ② $\ln \dfrac{16}{27}$ ③ $\ln \dfrac{19}{27}$ ④ $\ln \dfr..

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, $\angle \rm OAP$ 를 이등분하는 직선과 세 선분 $\rm HP, \; OP, \; OB$ 의 교점을 각각 $\rm Q, \; R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm APH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm AQH$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PSR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^3 \times g(\theta)}{f(\t..

양수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\dfrac{x^2-ax}{e^x}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$f(x)=f'(t)(x-t)+f(t)$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 하자. $g(5)+ \lim \limits_{t \to 5} g(t)=5$ 일 때, $\lim \limits_{t \to k-}g(t) \ne \lim \limits_{t \to k+}g(t)$ 를 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $16$

양수 $a$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x \left \{ f'(t+a) \times f'(t-a) \right \} dt $$가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(x)$ 는 $x=\dfrac{1}{2}$ 와 $x=\dfrac{13}{2}$ 에서만 극값을 갖는다. $f(0)=-\dfrac{1}{2}$ 일 때, $a \times f(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{3}$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고 선분 $\rm B_1C_1$ 을 지름으로 하는 반원의 호 $\rm B_1C_1$ 이 두 선분 $\rm B_1 E_1, \; B_1D_1$ 과 만나는 점 중 점 $ \rm B_1$ 이 아닌 점을 각각 $\rm F_1, \; G_1$ 이라 하자. 세 선분 $\rm F_1E_1, \; E_1D_1, \; D_1G_1$ 과 호 $\rm F_1G_1$ 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에 선분 $..

그림과 같이 좌표평면 위의 제2사분면에 있는 점 $\rm A$ 를 지나고 기울기가 각각 $m_1, \; m_2 \; (0