수악중독

자연수 $n$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{nx}{x^n+1} & (x \ne -1) \\[10pt] -2 & (x=-1) \end{cases}$$ 일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $n=3$ 일 때, 함수 $f(x)$ 는 구간 $(- \infty, \; -1)$ 에서 증가한다. ㄴ. 함수 $f(x)$ 가 $x=-1$ 에서 연속이 되도록 하는 $n$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 이다. ㄷ. 구간 $(-1, \; \infty)$ 에서 함수 $f(x)$ 가 극솟값을 갖도록 하는 $10$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합은 $24$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ..

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}_n(n, \; 0), \; {\rm B}_n(n, \; 3)$ 이 있다. 점 ${\rm P}(1, \; 0)$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 직선 ${\rm OB}_n$ 과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm PC}_n}}{\overline{{\rm OB}_n}-\overline{{\rm OA}_n}}= \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $5$

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)=0, f(2)=1$ 이다. 그림과 같이 $0 \le x \le 2$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축 및 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 두 부분의 넓이를 각각 $A, \; B$ 라 하자. $A=B$ 일 때, $\displaystyle \int_0^2 (2x+3) f'(x) dx$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $7$

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm C$ 에 대하여 $\rm \angle PAC = \theta$ 일 때, $\rm \angle APC = 2 \theta$ 이다. $\rm \angle ADC = \angle PCD = \dfrac{\pi}{2}$ 인 점 $\rm D$ 에 대하여 두 선분 $\rm AP$ 와 $\rm CD$ 가 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. 삼각형 $\rm DEP$ 의 넓이를 $S(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}$ 의 값은 (단, $0 < \theta <..

최고차항의 계수가 $k\; (k>0)$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)=f(-2), \; f(0) \ne 0$ 이다. 함수 $g(x)=(ax+b) e^{f(x)} \; (a

그림과 같이 $\overline{\rm OA_1}=\sqrt{3}, \; \overline{\rm OB_1}=\sqrt{2}, \; \angle {\rm OB_1A_1}=90^{o}$ 인 직각삼각형 $\rm B_1OA_1$ 이 있다. 점 $\rm B_1$ 에서 선분 $\rm OA_1$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A_2$ 라 하고 점 $\rm A_2$ 에서 두 선분 $\rm OB_1, \; B_1A_1$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm B_2, \; C_1$ 이라 할 때, 두 삼각형 $\rm B_1B_2A_2$ 와 $C_1A_2A_1$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 의 점 $\rm B_2$ 에서 선분 $\rm OA_2$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A_3$ 이라 ..

닫힌구간 $[-4, \; 4]$ 에서 정의된 함수 $$f(x) = \begin{cases} -(x+2)^2 & (-4 \le x < 0) \\ (x-2)^2 & (0 \le x \le 4) \end{cases}$$ 가 있다. 그림과 같이 $0

두 함수 $f(x)=xe^{x^2}, \; g(x)=\sin \sqrt{x}$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{\frac{\pi^2}{4}}^{\pi ^2} \left ( f' \circ g \right )(x) g(x) g'(x) dx$ 의 값은? ① $-\dfrac{e+3}{2}$ ② $-\dfrac{e+1}{2}$ ③ $\dfrac{e+1}{2}$ ④ $\dfrac{e+3}{2}$ ⑤ $\dfrac{e+5}{2}$ 더보기 정답 ②

사각형 $\rm ABCD$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AB}=\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=2$ (나) $\sin \left ( \angle \rm BCD \right ) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 이고, $\angle \rm ABC = 2 \angle BCD$ 이다. 사각형 $\rm ABCD$ 의 넓이는? ① $\dfrac{8}{5}+\dfrac{4 \sqrt{5}}{5}$ ② $\dfrac{8}{5}+\dfrac{21 \sqrt{5}}{5}$ ③ $\dfrac{8}{5}+\dfrac{22 \sqrt{5}}{25}$ ④ $\dfrac{8}{5}+\dfrac{23 \sqrt{5}}{25}$ ⑤ $\dfrac{8}{5}+..

$1$ 이 아닌 양수 $a$ 와 함수 $f(x)=a^{x-1}$ 이 있다. 점 ${\rm A}(0, \; a)$ 를 지나고 $y$ 축에 수직인 직선이 두 곡선 $y=f(x), \; y=f'(x)$ 와 각각 서로 다른 점에서 만날 때, 이 두 교점 중 $x$ 좌표가 작은 것을 $\rm B$, $x$ 좌표가 큰 것을 $\rm C$ 라 하자. 점 $\rm B$ 가 선분 $\rm AC$ 의 중점일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $2.7