삼각함수의 극한&미분_난이도 상 (2022년 4월 전국연합 고3 미적분 30번)

함수 $f(x)=a \cos x + x \sin x +b$ 와 $-\pi <\alpha < 0 <\beta <\pi$ 인 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $f'(\alpha)=f'(\beta)=0$

(나) $\dfrac{\tan \beta - \tan \alpha}{\beta-\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=0$

 

$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x^2}=c$ 일 때, $f \left (\dfrac{\beta - \alpha}{3} \right ) +c = p +q \pi$ 이다.

두 유리수 $p, \; q$ 에 대하여 $120 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오.

(단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이고, $a<1$ 이다.)

 

정답 $135$