수악중독

함수 $f(x)=x^3-x$ 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=ax^3+x^2+bx+1$ 이 있다. 함수 $g(x)$ 의 역함수 $g^{-1}(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)$ 를 $$h(x)= \begin{cases} \left ( f \circ g^{-1} \right )(x) & (x1) \\[10pt] \dfrac{1}{\pi} \sin \pi x & (0 \le x \le 1) \end{cases}$$이라 하자. 함수 $h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $g(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) 더보기 정답 $15$

두 자연수 $a, b$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=ax^2+b$ 가 있다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\ln f(x)-\dfrac{1}{10}\{f(x)-1\}$$ 이라 하자. 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=|g(t)|$ 와 함수 $y=|g(x)|$ 의 그래프가 만나는 점의 개수를 $h(t)$ 라 하자. 두 함수 $g(x), h(t)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=0$ 에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 $h(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 $k$ 의 값의 개수는 $7$ 이다. $\displaystyle \int_0^ae^xf(x) dx=me^a-19$ 일 때, 자연수 $m$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $586$

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원의 호 $\rm AB$ 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 의 중점을 $\rm O$ 라 할 때, 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 직선 $\rm OP$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하고, $\angle \rm OQB$ 의 이등분선이 직선 $\rm AP$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 이라 하자. $\angle \rm OAP=\theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OAP$ 의 넓이를 $f(\theta)$ , 삼각형 $\rm PQR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta^4 ..

$t>2e$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $f(x)= t (\ln x)^2 - x^2$ 이 $x=k$ 에서 극대일 때, 실수 $k$ 의 값을 $g(t)$ 라 하면 $g(t)$ 는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha)=e^2$ 인 실수 $\alpha$ 에 대하여 $\alpha \times \{ g'(\alpha)\}^2=\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$

$t> \dfrac{1}{2} \ln 2$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y= \ln \left ( 1+ e^{2x}-e^{-2t} \right )$ 과 직선 $y=x+t$ 가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$ 라 할 때, $f'(\ln 2)= \dfrac{q}{p} \sqrt{2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $11$

그림과 같이 곡선 $y=x \sin x$ 위의 점 $ {\rm P}(t, \; t\sin t)\;\;(0

실수 $a$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$f(x)=3x+a, \; \; g(x)=\displaystyle \int_2^x (t+a)f(t)dt$$ 라 하자. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(-1)$ 의 최솟값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) 곡선 $y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이 $x$ 축이다. (나) 곡선 $y=|h(x)|$ 가 $x$ 축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 $4$ 이다. 더보기 정답 $251$

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1B_1$ 을 지름으로 하는 원 $O_1$ 이 있다. 원 $O_1$ 의 외부에 $\angle {\rm B_1A_1C_1}=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{\rm A_1B_1}:\overline{\rm A_1C_1}=4:3$ 이 되도록 $\rm C_1$ 을 잡고 두 선분 $\rm A_1C_1, \; B_1C_1$ 을 그린다. 원 $O_1$ 과 선분 $\rm B_1C_1$ 의 교점 중 $\rm B_1$ 이 아닌 점을 $\rm D_1$ 이라 하고, 점 $\rm D_1$ 을 포함하지 않는 호 $\rm A_1B_1$ 과 두 선분 $\rm A_1D_1, \; B_1D_1$ 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1..

그림과 같이 $\angle{\rm BAC} = \dfrac{2}{3}\pi$ 이고 $\overline{\rm AB} > \overline{\rm AC}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\overline{\rm BD}=\overline{\rm CD}$ 인 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm D$ 에 대하여 $\angle{\rm CBD}=\alpha, \; \angle{\rm ACD}=\beta$ 라 하자. $\cos ^2 \alpha = \dfrac{7+\sqrt{21}}{14}$ 일 때, $54 \sqrt{3} \times \tan \beta$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$

함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2} \; \; (a, \; b\; 는 \; 양의\; 실수)$$ 라 하자. 자연수 $m$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$ 의 실근의 개수를 $c_m$ 이라 할 때, $c_k=5$ 인 자연수 $k$ 가 존재한다. $k+\sum \limits_{m=1}^\infty (c_m-1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $13$