정적분 형태로 정의된 함수_난이도 상 (2022년 4월 전국연합 고3 22번)

양수 $a$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x \left \{ f'(t+a) \times f'(t-a) \right \} dt $$가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

함수 $g(x)$ 는 $x=\dfrac{1}{2}$ 와 $x=\dfrac{13}{2}$ 에서만 극값을 갖는다. 

 

$f(0)=-\dfrac{1}{2}$ 일 때, $a \times f(1)$ 의 값을 구하시오.

 

정답 $30$