수악중독

그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}$ 를 $\angle \mathrm{PAB}=\theta$, $\angle \mathrm{PBA}=3\theta$ 가 되도록 잡고, 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; P}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AP}$ 를 이등분하는 점과 선분 $\mathrm{AP}$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $f(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{f(\theta)}{\theta}$ 의 값은? $\left (\text{단, } 0 < \theta < \dfrac{\..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=2$ 이고 $\angle \mathrm{A_1B_1C_1}=\dfrac{\pi}{3}$ 인 마름모 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ 이 있다. 점 $\mathrm{B_1}$ 을 중심으로 하고 점 $\mathrm{A_1}$ 을 지나는 원이 대각선 $\mathrm{B_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 하고, $\angle \mathrm{A_1B_1E_1}$ 의 이등분선이 선분 $\mathrm{A_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. 호 $\mathrm{A_1C_1}$ 과 네 선분 $\mathrm{B_1C_1, \; B_1E_1, \; A_1F_1, \; E_1F_1}$ 으로 이루어..

$a, \; b$ 가 양수일 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$f(x)=axe^{-bx^2+b}$$ 과 $t> \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, 원점 $\mathrm{O}$ 에서 이 접선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{HOQ} = g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}+} g(t)=0$ (나) 함수 $g(t)$ 는 최댓값 $\dfrac{\pi}{4}$ 를 갖는다. $\dfrac{g'..

함수 $f(x)=\ln (1+2x)$ 에 대하여 $$\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f'(1+h)-f'(1)}{h}$$ 의 값은? ① $-\dfrac{2}{9}$ ② $-\dfrac{1}{3}$ ③ $-\dfrac{4}{9}$ ④ $-\dfrac{5}{9}$ ⑤ $-\dfrac{2}{3}$ 더보기 정답 ③

매개변수 $t$ 로 나타낸 곡선 $$x=t-\sin t, \quad y= \cos t$$ 에 대하여 $t=\dfrac{\pi}{3}$ 에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는? ① $\sqrt{3}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ③ $0$ ④ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ⑤ $-\sqrt{3}$ 더보기 정답 ⑤

양수 $t$ 에 대하여 $x=0$ 에서 $x=t$ 까지의 곡선 $y=\dfrac{4}{3}x \sqrt{x}$ 의 길이를 $l(t)$ 라 하자. $l'(\alpha)=3$ 일 때, $l(3\alpha)$ 의 값은? (단, $\alpha$ 는 $\alpha>0$ 인 상수이다.) ① $\dfrac{62}{3}$ ② $\dfrac{64}{3}$ ③ $22$ ④ $\dfrac{68}{3}$ ⑤ $\dfrac{70}{3}$ 더보기 정답 ①

함수 $f(x)= \displaystyle \int_0^x (a-t)e^t dt$ 가 $x=1$ 에서 극값 $b$ 를 가질 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $e-3$ ② $e-2$ ③ $e-1$ ④ $e$ ⑤ $e+1$ 더보기 정답 ③

매개변수 $t$ 로 나타낸 곡선 $x=\ln \sqrt{t}$, $y=1-2e^{-t}$ 에 대하여 $t=\ln2$ 에서의 접선의 기울기는? ① $\ln2$ ② $2 \ln 2$ ③ $3\ln2$ ④ $4\ln2$ ⑤ $5\ln2$ 더보기 정답 ②

함수 $f(x)=(\sin x + a) \cos x$ 에 대하여 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 에서의 접선의 기울기가 $-3$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ②

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\pi^2}{n^2} \sum \limits_{k=1}^n k \sin \dfrac{k\pi}{n}$ 의 값은? ① $\pi-2$ ② $\pi-1$ ③ $\pi$ ④ $\pi+1$ ⑤ $\pi+2$ 더보기 정답 ③