도형과 등비급수_난이도 중상 (2022년 5월 교육청 고3 미적분 29번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=2$ 이고 $\angle \mathrm{A_1B_1C_1}=\dfrac{\pi}{3}$ 인 마름모 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ 이 있다. 점 $\mathrm{B_1}$ 을 중심으로 하고 점 $\mathrm{A_1}$ 을 지나는 원이 대각선 $\mathrm{B_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 하고, $\angle \mathrm{A_1B_1E_1}$ 의 이등분선이 선분 $\mathrm{A_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. 호 $\mathrm{A_1C_1}$ 과 네 선분 $\mathrm{B_1C_1, \; B_1E_1, \; A_1F_1, \; E_1F_1}$ 으로 이루어진

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\mathrm{A_1B_1}$ 위의 두 점 $\mathrm{A_2, \; B_2}$ 와 선분 $\mathrm{B_1E_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 호 $\mathrm{A_1E_1}$ 위의 점 $\mathrm{D_2}$ 를 두 직선 $\mathrm{B_2C_2, \; B_1C_1}$ 이 평행하고 사각형 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$ 가 마름모가 되도록 잡는다. 마름모 $\mathrm{A_2B_2C_2D_2}$ 에 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n = p+q\sqrt{3}$ 이다. $60 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.)

 

 

정답 $140$