수악중독

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{a_n}{n}-2 \right )=5$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{2n^2+3na_n}{n^2+4}$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}_1$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{5\pi}{12}$ 인 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1O_2}$ 가 있다. 호 $\mathrm{A_1O_2}$ 위에 점 $\mathrm{B_1}$ 을 $\angle \mathrm{A_1O_1B_1}=\dfrac{\pi}{4}$ 가 되도록 잡고, 부채꼴 $\mathrm{O_1A_1B_1}$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 점 $\mathrm{O_2}$ 를 지나고 선분 $\mathrm{O_1A_1}$ 에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{O_1B_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{A_2}$ 라 하자. 중심이 $\mathrm{O_2}$ 이고 중심각의 크기가..

자연수 $r$ 에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3^n+r^{n+1}}{3^n + 7 \times r^n}=1$ 이 성립하도록 하는 모든 $r$ 의 값의 합은? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ④

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형 $\mathrm{OA_1B_1C_1}$ 의 대각선 $\mathrm{OB_1}$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{D_1}$ 이라 하고, 네 선분 $\mathrm{A_1B_1, \; B_1C_1, \; C_1D_1, \; D_1A_1}$ 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 두 직선 $\mathrm{A_1D_1, \; C_1D_1}$ 에 동시에 접하는 원과 선분 $\mathrm{OB_1}$ 이 만나는 점을 $\mathrm{B_2}$ 라 하자. 선분 $\mathrm{OB_2}$ 를 대각선으로 하는 정사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$ 를 그리고..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB_1}}=1$, $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=2$ 인 직사각형 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$ 이 있다. $\angle \mathrm{AD_1C_1}$ 을 삼등분하는 두 직선이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 과 만나는 점 중 점 $\mathrm{B_1}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{E_1}$, 점 $\mathrm{C_1}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. $\overline{\mathrm{E_1F_1}}=\overline{\mathrm{F_1G_1}}$, $\angle \mathrm{E_1F_1G_1}=\dfrac{\pi}{2}$ 이고 선분 $\mathrm{AD_1}$ 과 선분 $\mathr..

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n-4n}{n}=1$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{5n+a_n}{3n-1}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm A_1B$ 를 지름으로 하는 반원 $O_1$ 이 있다. 호 $\rm BA_1$ 위에 점 $\rm C_1$ 을 $\angle \rm BA_1C_1=\dfrac{\pi}{6}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm A_2B$ 를 지름으로 하는 반원 $O_2$ 가 선분 $\rm A_1C_1$ 과 접하도록 선분 $\rm A_1B$ 위에 점 $\rm A_2$ 를 잡는다. 반원 $O_2$ 와 선분 $\rm A_1C_1$ 의 접점을 $\rm D_1$ 이라 할 때, 두 선분 $\rm A_1A_2, \; A_1D_1$ 과 호 $\rm D_1A_2$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_1D_1$ 과 두 호 $\rm BC_1, \; BD_1$ 로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하..

등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{n=1}^\infty (a_{2n-1}-a_{2n})=3, \quad \sum \limits_{n=1}^\infty a_n^2 = 6$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ②

수열 $\{a_n\}$ 이 $\lim \limits_{n \to \infty} (3a_n - 5n)=2$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{(2n+1)a_n}{4n^2}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{3}$ ③ $\dfrac{1}{2}$ ④ $\dfrac{2}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{6}$ 더보기 정답 ⑤

첫째항이 $1$ 인 두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}-a_n =3, \quad \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{1}{b_k} = n^2$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} a_nb_n$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{4}{3}$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $\dfrac{5}{3}$ ⑤ $\dfrac{11}{6}$ 더보기 정답 ③