수악중독

자연수 $n$ 에 대하여 $\angle {\rm A} = 90^{\rm o}, \; \overline{\rm AB}=2, \; \overline{\rm CA}=n$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 에서 $\angle {\rm A}$ 의 이등분선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 선분 $\rm CD$ 의 길이를 $a_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} (n-a_n)$ 의 값은? ① $1$ ② $\sqrt{2}$ ③ $2$ ④ $2\sqrt{2}$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ③

그림과 같이 선분 $\overline{\rm AB_1} = 2, \; \overline{\rm AD_1}=4$ 인 직사각형 $\rm AB_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm AD_1$ 을 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라하고, 직사각형 $\rm AB_1C_1D_1$ 의 내부에 점 $\rm F_1$ 을 $\overline{\rm F_1E_1}= \overline{\rm F_1C_1}$, $\angle \rm E_1 F_1 C_1 = \dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡고 삼각형 $\rm E_1 F_1 C_1$ 을 그린다. 사각형 $\rm E_1F_1C_1D_1$ 을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm AB_1$ 위의 점 $\rm B_..

실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(a-2)x^{2n+1}+2x}{3x^{2n}+1}$$ 라 하자. $(f \circ f)(1)=\dfrac{5}{4}$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $\dfrac{11}{2}$ ② $\dfrac{13}{2}$ ③ $\dfrac{15}{2}$ ④ $\dfrac{17}{2}$ ⑤ $\dfrac{19}{2}$ 더보기 정답 ③

한 변의 길이가 $6$ 이고 무게중심이 $\rm O$ 인 정삼각형 $\rm A_1 B_1 C_1$ 이 있다. 그림과 같이 점 $\rm O$ 를 중심으로 하는 원이 정삼각형 $\rm A_1B_1C_1$ 의 세 변과 만나는 점을 각각 $\rm A_1, \; D_1, \; B_2, \; E_1, \; C_2, \; F_1$ 이라 할 때, $\angle \rm A_2OF_1=30^o$ 가 되는 원을 $O_1$ 이라 하고, 정삼각형 $\rm A_1B_1C_1 $ 의 내부와 원 $O_1$ 의 외부의 공통부분, 정삼각형 $\rm A_1 B_1C_1$ 의 외부와 원 $O_1$ 의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 점 $\rm O$ 를 중심으로 하는 원지 정삼각형 $\r..

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1B_1$ 을 지름으로 하는 반원 $O_1$ 의 호 $\rm A_1B_1$ 을 $4$ 등분하는 점을 $\rm A_1$ 에서 가까운 순서대로 각각 $\rm C_1, \; D_1, \; E_1$ 이라 하고, 두 점 $\rm C_1, \; E_1$ 에서 선분 $\rm A_1B_1$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm A_2, \; B_2$ 라 하자. 사각형 $\rm C_1A_2B_2E_1$ 의 외부와 삼각형 $\rm D_1A_1B_1$ 의 외부의 공통부분 중 반원 $O_1$ 의 내부에 있는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm A_2B_2$ 를 지름으로 하는 반원 $O_2$ 를 반원 $O_1$ 의 내부에 그리고,..

자연수 $n$ 에 대하여 좌표평면 위에 두 점 ${\rm A}_n(n, \; 0), \; {\rm B}_n(n, \; 3)$ 이 있다. 점 ${\rm P}(1, \; 0)$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 직선이 직선 ${\rm OB}_n$ 과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm PC}_n}}{\overline{{\rm OB}_n}-\overline{{\rm OA}_n}}= \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $5$

그림과 같이 $\overline{\rm OA_1}=\sqrt{3}, \; \overline{\rm OB_1}=\sqrt{2}, \; \angle {\rm OB_1A_1}=90^{o}$ 인 직각삼각형 $\rm B_1OA_1$ 이 있다. 점 $\rm B_1$ 에서 선분 $\rm OA_1$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A_2$ 라 하고 점 $\rm A_2$ 에서 두 선분 $\rm OB_1, \; B_1A_1$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm B_2, \; C_1$ 이라 할 때, 두 삼각형 $\rm B_1B_2A_2$ 와 $C_1A_2A_1$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 의 점 $\rm B_2$ 에서 선분 $\rm OA_2$ 에 내린 수선의 발을 $\rm A_3$ 이라 ..

그림과 같이 $\overline{\rm AB_1}=3, \; \overline{\rm AC_1}=2$ 이고 $\angle \rm B_1 AC_1 = \dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $\rm AB_1C_1$ 이 있다. $\angle \rm B_1 A C_1$ 의 이등분선이 선분 $\rm B_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm D_1$, 세 점 $\rm A, \; D_1, \; C_1$ 을 지나는 원이 선분 $\rm AB_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B_2$ 라 할 때, 두 선분 $\rm B_1 B_2$, $\rm B_1D_1$ 과 호 $\rm B_2 D_1$ 으로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_1 D_1$ 과 호 $\rm C_1 D_1$ 로 둘러싸인 부분인 모양의..