수악중독

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\lim \limits_{n to \infty} \dfrac{na_n}{n^2+3}=1$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \sqrt{a_n^2+n}-a_n \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$          ② $\dfrac{1}{2}$          ③ $1$          ④ $2$          ⑤ $3$ 더보기정답 ②

등비수열 $\{a_n\}$ 이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left (|a_n|+a_n \right ) = \dfrac{40}{3}, \quad \sum \limits_{n=1}^\infty \left (|a_n | - a_n \right )=\dfrac{20}{3}$$ 을 만족시킨다. 부등식 $$\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{2n} \left ((-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k} \right ) > \dfrac{1}{700}$$ 을 만족시키는 모든 자연수 $m$ 의 값의 합을 구하시오.  더보기정답 $25$

수열 $a_n = \left (\dfrac{k}{2} \right )^n$ 이 수렴하도록 하는 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a \times a_n + \left (\dfrac{1}{2} \right )^n}{a_n+b \times \left (\dfrac{1}{2} \right )^n}  = \dfrac{k}{2}$$ 일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 상수이다.) ① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$ 더보기정답 ④

등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{4^n \times a_n -1}{3 \times 2^{n+1}}=1$$ 일 때, $a_1 + a_2$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$          ② $\dfrac{5}{2}$          ③ $\dfrac{7}{2}$          ④ $\dfrac{9}{2}$          ⑤ $\dfrac{11}{2}$ 더보기정답 ④

수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$m$항까지의 합을 $S_m$ 이라 하자. 모든 자연수 $m$ 에 대하여 $$S_m = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{m+1}{n(n+m+1)}$$ 일 때, $a_1 +a_{10}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기정답 $57$

양수 $k$ 와 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{|x-2|^{2n+1}+f(x)}{|x-2|^{2n}+k} & (|x-2| \ne 1) \\[10pt] \dfrac{|f(x+1)|}{k+1} & (|x-2|=1)\end{cases}$$ 이 실수 전체의 집합에서 연속이다. 닫힌구간 $[1, \; 3]$ 에서 함수 $f(g(x))$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $10(M+m)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $30$

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ a_n \times \left ( \sqrt{n^2+4}-n \right ) \right \}=6$$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2a_n+6n^2}{na_n+5}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$          ② $2$          ③ $\dfrac{5}{2}$          ④ $3$          ⑤ $\dfrac{7}{2}$ 더보기정답 ②

첫째항이 $1$ 이고 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n$ 이 수렴하고 $$\sum \limits_{n=1}^\infty (20a_{2n} + 21 | a_{3n-1} | )=0$$ 이다. 첫째항이 $0$ 이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{3|a_n|+b_n}{a_n}$ 이 수렴할 때, $b_1 \times \sum \limits_{n=1}^\infty b_n$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $12$

수열 $\{a_n\}$ 이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left (a_n -\dfrac{3n^2-n}{2n^2+1} \right ) = 2$$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \left (a_n^2 +2a_n \right )$ 의 값은? ① $\dfrac{17}{4}$          ② $\dfrac{19}{4}$          ③ $\dfrac{21}{4}$          ④ $\dfrac{23}{4}$          ⑤ $\dfrac{25}{4}$ 더보기정답 ③

수열 $\{a_n\}$ 은 공비가 $0$ 이 아닌 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$ 을 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases} a_n & \left ( \left |a_n \right |  (가) $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n = 4$(나) $\sum \limits_{n=1}^m \dfrac{a_n}{b_n}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 $m$ 은 $p$ 이고, $\sum \limits_{n=1}^p b_n = 51$, $\sum \limits_{n=p+1}^\infty b_n =\dfrac{1}{64}$ 이다. $32 \times (a_3 + p)$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $138$