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목록미적분 - 문제풀이/수열의 극한 (66)
수악중독
두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 $$\lim \limits_{n \to \infty}na_n=1, \quad \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{n}=3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2a_n+b_n}{1+2b_n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{2}{3}$ ④ $\dfrac{5}{6}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ③
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$2n+3 < a_n < 2n+4$$ 를 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(a_n +1)^2 +6n^2}{na_n}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤
수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}-a_n = a_1 +2$$ 를 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{2a_n+n}{a_n -n +1}=3$ 일 때, $a_{10}$ 의 값은? (단, $a_1 >0$) ① $35$ ② $36$ ③ $37$ ④ $38$ ⑤ $39$ 더보기 정답 ④
$a_1=3, \; a_2=6$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 모든 항이 양수인 수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n a_k (b_k)^2=n^3-n+3$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_nb_{2n}}$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ③ $3$ ④ $3\sqrt{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ②
자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=2nx$ 가 곡선 $y=x^2+n^2-1$ 과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{A}_n, \; \mathrm{B}_n$ 이라 하자. 원 $(x-2)^2+y^2=1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P}_n$ 이라 할 때, 삼각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{P}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{S_n}{n}$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③
자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\dfrac{4}{n^3} x^3 +1$$ 이라 하자. 원점에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선을 $l_n$, 접선 $l_n$ 의 접점을 $\mathrm{P}_n$ 이라 하자. $x$ 축과 직선 $l_n$ 에 동시에 접하고 점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나는 원 중 중심의 $x$ 좌표가 양수인 것을 $C_n$ 이라 하자.원 $C_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 할 때, $40 \times \lim \limits_{n \to \infty} n^2 (4r_n-3)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $270$
첫째항과 공비가 각각 $0$ 이 아닌 두 등비수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 에 대하여 두 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty a_n , \; \sum \limits_{n=1}^\infty b_n$ 이 각각 수렴하고 $$\sum \limits_{n=1}^\infty a_n b_n = \left ( \sum \limits_{n=1}^\infty a_n \right ) \times \left ( \sum \limits_{n=1}^\infty b_n \right ) , \quad 3 \times \sum \limits_{n=1}^\infty |a_{2n}|= 7 \times \sum \limits_{n=1}^\infty |a_{3n} |$$ 이 성립한다. $\sum \limits..
모든 항이 자연수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{3^n}=4$$ 이고 급수 $\sum \limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{a_{2n}}$ 이 실수 $S$ 에 수렴할 때, $S$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ①
공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 과 등비수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 $a_1 = b_1=1, \; a_2b_2=1$ 이고 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{1}{a_n a_{n+1}} + b_n \right )=2$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^\infty b_n$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{6}$ ② $\dfrac{6}{5}$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ⑤
두 실수 $a, \; b \; (a>1, \; b>1)$ 이 $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3^n+a^{n+1}}{3^{n+1}+a^n} = a, \quad \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a^n +b^{n+1}}{a^{n+1}+b^n}=\dfrac{9}{a}$$ 를 만족시킬 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $18$