수악중독

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_n^2 < 4na_n+n-4n^2$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n+3n}{2n+4}$ 의 값은? ① $\dfrac{5}{2}$ ② $3$ ③ $\dfrac{7}{2}$ ④ $4$ ⑤ $\dfrac{9}{2}$ 더보기 정답 ①

함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3 \times \left ( \dfrac{x}{2} \right )^{2n+1}-1}{ \left ( \dfrac{x}{2} \right )^{2n} +1}$$ 에 대하여 $f(k)=k$ 를 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합은? ① $-6$ ② $-5$ ③ $-4$ ④ $-3$ ⑤ $-2$ 더보기 정답 ④

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2-2nx-2n$ 이 직선 $y=x+1$ 과 만나는 두 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 선분 ${\rm P}_n{\rm Q}_n$ 을 대각선으로 하는 정사각형의 넓이를 $a_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{2}{15}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{5}$ ⑤ $\dfrac{7}{30}$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1A_2}=3$ 이고 $\angle \rm A_1B_1A_2=\dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $\rm A_1A_2B_1$ 과 이 심각형의 외접원 $O_1$ 이 있다. 점 $\rm A_2$ 를 지나고 직선 $\rm A_1B_1$ 에 평행한 직선이 원 $O_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A_2$ 가 아닌 점을 $\rm B_2$ 라 하자. 두 선분 $\rm A_1B_2$ , $\rm B_1A_2$ 가 만나는 점을 $\rm C_1$ 이라 할 때, 두 삼각형 $\rm A_1A_2C_1$, $\rm B_1C_1B_2$ 로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 점 $..

첫째항이 $4$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 급수 $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left ( \dfrac{a_n}{n}-\dfrac{3n+7}{n+2} \right )$$ 이 실수 $S$ 에 수렴할 때, $S$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ③

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=1$, $\overline{\rm B_1C_1}=2$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 의 중점 $\rm E_1$ 에 대하여 두 선분 $\rm B_1D_1, \; C_1E_1$ 이 만나는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. $\overline{\rm G_1E_1}=\overline{\rm G_1F_1}$ 이 되도록 선분 $\rm B_1D_1$ 위에 점 $\rm G_1$ 을 잡아 삼각형 $\rm G_1F_1E_1$ 을 그린다. 두 삼각형 $\rm C_1D_1F_1, \; G_1F_1E_1$ 로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm B_1..

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n+2}{2}=6$ 일 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{na_n+1}{a_n+2n}$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ⑤

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=4$, $\overline{\rm A_1D_1}=1$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 에서 두 대각선의 교점을 $\rm E_1$ 이라 하자. $\overline{\rm A_2D_1}=\overline{\rm D_1E_1}$, $\angle \rm A_2D_1E_1=\dfrac{\pi}{2}$ 이고 선분 $\rm D_1C_1$ 과 선분 $\rm A_2E_1$ 이 만나도록 점 $\rm A_2$ 를 잡고, $\overline{\rm B_2C_1} = \overline{\rm C_1E_1}$, $\angle \rm B_2C_1E_1=\dfrac{\pi}{2}$ 이고 선분 $\rm D_1C_1$ 과 선분 $\rm B_2E_1$ 이 만나도록 점 $..

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=1$, $\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{6}$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 중심이 $\rm B_1$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 선분 $\rm B_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고, 중심이 $\rm D_1$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 선분 $\rm A_1B_1$ 과 만나는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. 선분 $\rm B_1D_1$ 이 호 $\rm A_1E_1$, 호 $\rm C_1F_1$ 과 만나는 점을 각각 $\rm B_2$, $\rm D_2$ 라 하고, 두 선분 $\rm B_1B_2$, $\rm D_1D_2$ 의 중점을 각각 $\rm G_1$, $\rm..

등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n+1}{3^n+2^{2n-1}}=3$ 일 때, $a_2$ 의 값은? ① $16$ ② $18$ ③ $20$ ④ $22$ ⑤ $24$ 더보기 정답 ⑤