수악중독

그림과 같이 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 이 있다. 호 $\rm A_1B_1$ 위에 점 $\rm P_1$, 선분 $\rm OA_1$ 위에 점 $\rm C_1$, 선분 $\rm OB_1$ 위에 점 $\rm D_1$ 을 사각형 $\rm OC_1P_1D_1$ 이 $\overline{\rm OC_1}:\overline{\rm OD_1}=3:4$ 인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 의 내부에 점 $\rm Q_1$ 을 $\overline{\rm P_1Q_1} = \overline{\rm A_1Q_1}$, $\angle \rm P_1Q_1A_1 = \dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록..

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{3}$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고 선분 $\rm B_1C_1$ 을 지름으로 하는 반원의 호 $\rm B_1C_1$ 이 두 선분 $\rm B_1 E_1, \; B_1D_1$ 과 만나는 점 중 점 $ \rm B_1$ 이 아닌 점을 각각 $\rm F_1, \; G_1$ 이라 하자. 세 선분 $\rm F_1E_1, \; E_1D_1, \; D_1G_1$ 과 호 $\rm F_1G_1$ 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에 선분 $..

자연수 $n$에 대하여 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}_n$을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) $\mathrm{A}_1$은 원점이다. (나) $n$이 홀수이면 $\mathrm{A}_{n+1}$은 점 $\mathrm{A}_n$을 $x$축의 방향으로 $a$ 만큼 평행이동한 점이다. (다) $n$이 짝수이면 $\mathrm{A}_{n+1}$은 점 $\mathrm{A}_n$을 $y$축의 방향으로 $a+1$ 만큼 평행이동한 점이다. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_{2n}}}{n}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$일 때, 양수 $a$의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{7}{4}$ ③ $..

실수 $t$에 대하여 직선 $y=tx-2$가 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+1}-1}{x^{2n}+1}$$의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t=a$에서 불연속인 모든 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1, \; a_2, \; \cdots, \; a_m$ ($m$은 자연수)라 할 때, $m \times a_m$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $28$

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 곡선 $$T_n\; : \; y=\dfrac{\sqrt{3}}{n+1}x^2\; (x \ge 0)$$위에 있고 원점 $\rm O$와의 거리가 $2n+2$인 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_n$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_n$이라 하자. 중심이 $\mathrm{P}_n$이고 점 $\mathrm{H}_n$을 지나는 원을 $C_n$이라 할 때, 곡선 $T_n$과 원 $C_n$의 교점 중 원점에 가까운 점을 $\mathrm{Q}_n$, 원점에서 원 $C_n$에 그은 두 접선의 접점 중 $\mathrm{H}_n$이 아닌 점을 $\mathrm{R}_n$이라 하자. 점 $\mathrm{R}_n$을 포함하지 않는 호 $\..

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=4, \; \overline{\rm B_1C_1}=10$ 이고, $\overline{\rm A_1B_1}=\overline{\rm C_1D_1}=6$ 인 사다리꼴 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1 B_1$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고, 선분 $\rm D_1C_1$ 을 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. 두 선분 $\rm A_1F_1, \; D_1E_1$ 의 교점을 $\rm G_1$ 이라 할 때, $5$ 개의 선분 $\rm A_1E_1, \; E_1G_1, \; G_1F_1, \; F_1D_1, \; D_1A_1$ 로 둘러싸인 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ ..

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1B_1$ 을 지름으로 하는 원 $O_1$ 이 있다. 원 $O_1$ 의 외부에 $\angle {\rm B_1A_1C_1}=\dfrac{\pi}{2}$, $\overline{\rm A_1B_1}:\overline{\rm A_1C_1}=4:3$ 이 되도록 $\rm C_1$ 을 잡고 두 선분 $\rm A_1C_1, \; B_1C_1$ 을 그린다. 원 $O_1$ 과 선분 $\rm B_1C_1$ 의 교점 중 $\rm B_1$ 이 아닌 점을 $\rm D_1$ 이라 하고, 점 $\rm D_1$ 을 포함하지 않는 호 $\rm A_1B_1$ 과 두 선분 $\rm A_1D_1, \; B_1D_1$ 로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1..

함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{ax^{2n}+bx^{2n-1}+x}{x^{2n}+2} \; \; (a, \; b\; 는 \; 양의\; 실수)$$ 라 하자. 자연수 $m$ 에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$ 의 실근의 개수를 $c_m$ 이라 할 때, $c_k=5$ 인 자연수 $k$ 가 존재한다. $k+\sum \limits_{m=1}^\infty (c_m-1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $13$

자연수 $n$ 에 대하여 삼차함수 $f(x)=x(x-n)\left (x-3n^2 \right )$ 이 극대가 되는 $x$ 를 $a_n$ 이라 하자. $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=f(a_n)$ 의 근 중에서 $a_n$ 이 아닌 근을 $b_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{a_nb_n}{n^3} = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $5$

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm P}_n \left (2n, \; 4n^2 \right )$ 에서의 접선과 수직이고 점 ${\rm Q}_n \left (0, \; 2n^2 \right )$ 을 지나는 직선을 $l_n$ 이라 하자. 점 ${\rm P}_n$ 을 지나고 점 ${\rm Q}_n$ 에서 직선 $l_n$ 과 접하는 원을 $C_n$ 이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$ 의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $12$