도형과 등비급수_난이도 중 (2021년 10월 전국연합 고3 미적분 26번)

 

 

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm A_1B$ 를 지름으로 하는 반원 $O_1$ 이 있다. 호 $\rm BA_1$ 위에 점 $\rm C_1$ 을 $\angle \rm BA_1C_1=\dfrac{\pi}{6}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm A_2B$ 를 지름으로 하는 반원 $O_2$ 가 선분 $\rm A_1C_1$ 과 접하도록 선분 $\rm A_1B$ 위에 점 $\rm A_2$ 를 잡는다. 반원 $O_2$ 와 선분 $\rm A_1C_1$ 의 접점을 $\rm D_1$ 이라 할 때, 두 선분 $\rm A_1A_2, \; A_1D_1$ 과 호 $\rm D_1A_2$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_1D_1$ 과 두 호 $\rm BC_1, \; BD_1$ 로 둘러싸인 부분인 

 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 호 $\rm BA_2$ 위에 점 $\rm C_2$ 를 $\angle \rm BA_2C_2=\dfrac{\pi}{6}$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm A_3B$ 를 지름으로 하는 반원 $O_3$ 이 선분 $\rm A_2C_2$ 와 접하도록 선분 $\rm A_2B$ 위에 점 $\rm A_3$ 를 잡는다. 반원 $O_3$ 과 선분 $\rm A_2C_2$ 의 접점을 $\rm D_2$ 라 할 때, 두 선분 $\rm A_2A_3, \; A_2D_2$ 와 호 $\rm D_2A_3$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_2D_2$ 와 두 호 $\rm BC_2, \; BD_2$ 로 둘러싸인 부분인 

 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{4\sqrt{3}-\pi}{10}$          ② $\dfrac{9\sqrt{3}-2\pi}{20}$          ③ $\dfrac{8\sqrt{3}-\pi}{20}$          ④ $\dfrac{5\sqrt{3}-\pi}{10}$          ⑤ $\dfrac{9\sqrt{3}-\pi}{20}$

 

정답 ②