도형과 등비급수_난이도 중상 (2021년 9월 평가원 고3 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB_1}}=1$,  $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=2$ 인 직사각형 $\mathrm{AB_1C_1D_1}$ 이 있다. $\angle \mathrm{AD_1C_1}$ 을 삼등분하는 두 직선이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$ 과 만나는 점 중 점 $\mathrm{B_1}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{E_1}$, 점 $\mathrm{C_1}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. $\overline{\mathrm{E_1F_1}}=\overline{\mathrm{F_1G_1}}$,  $\angle \mathrm{E_1F_1G_1}=\dfrac{\pi}{2}$ 이고 선분 $\mathrm{AD_1}$ 과 선분 $\mathrm{F_1G_1}$ 이 만나도록 점 $\mathrm{G_1}$ 을 잡아 삼각형 $\mathrm{E_1F_1G_1}$ 을 그린다. 선분 $\mathrm{E_1D_1}$ 과 선분 $\mathrm{F_1G_1}$ 이 만나는 점을 $\mathrm{H_1}$ 이라 할 때, 두 삼각형 $\mathrm{G_1E_1H_1}$, $\mathrm{H_1F_1D_1}$ 로 만들어진 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에 선분 $\mathrm{AB_1}$ 위의 점 $\mathrm{B_2}$, 선분 $\mathrm{E_1G_1}$ 위의 점 $\mathrm{C_2}$, 선분 $\mathrm{AD_1}$ 위의 점 $\mathrm{D_2}$ 와 점 $\mathrm{A}$ 를 꼭짓점으로 하고 $\mathrm{\overline{AB_2}:\overline{B_2C_2}}=1:2$ 인 직사각형 $\mathrm{AB_2C_2D_2}$ 를 그린다 직사각형 $\mathrm{AB_2C_2D_2}$ 에 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 

 

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$          ② $\dfrac{5\sqrt{3}}{18}$          ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$          ④ $\dfrac{7\sqrt{3}}{18}$          ⑤ $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$

 

정답 ③