수악중독

$a>0, \; a\ne 1$ 인 실수 $a$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $y=n$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{A}_n$, 직선 $y=n$ 이 곡선 $y= \log_a (x-1)$ 과 만나는 점을 $\mathrm{B}_n$ 이라 하자. 사각형 $\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1} \mathrm{A}_{n+1}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}}}{S_n} = \dfrac{3}{2a+2}$$ 을 만족시키는 모든 $a$ 의 값의 합은? ① $2$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{5}{2}..

자연수 $n$ 에 대하여 $x$ 에 대한 부등식 $x^2-4nx-n

함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1}-x}{x^{2n}+1}$$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $2k-2 \le |x| < 2k$ 일 때, $g(x)=(2k-1) \times f \left (\dfrac{x}{2k-1} \right )$ 이다. (단, $k$ 는 자연수이다.) $0

두 수열 $\{a_n\}, \; \{b_n\}$ 이 $$\sum \limits_{n=1}^\infty \left ( \dfrac{a_n}{n} - \dfrac{4n^2}{n^2+3} \right ) = 1, \quad \lim \limits_{n \to \infty} (a_n - 2b_n)=1$$ 을 만족시킬 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{4a_n +3a_n^2+1}{2n^2+nb_n+b_n^2}$ 의 값은? (단, $b_n >0$) ① $6$ ② $8$ ③ $10$ ④ $12$ ⑤ $14$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=2$ 이고 $\angle \mathrm{A_1B_1C_1}=\dfrac{\pi}{3}$ 인 마름모 $\mathrm{A_1B_1C_1D_1}$ 이 있다. 점 $\mathrm{B_1}$ 을 중심으로 하고 점 $\mathrm{A_1}$ 을 지나는 원이 대각선 $\mathrm{B_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{E_1}$ 이라 하고, $\angle \mathrm{A_1B_1E_1}$ 의 이등분선이 선분 $\mathrm{A_1D_1}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{F_1}$ 이라 하자. 호 $\mathrm{A_1C_1}$ 과 네 선분 $\mathrm{B_1C_1, \; B_1E_1, \; A_1F_1, \; E_1F_1}$ 으로 이루어..

그림과 같이 $\mathrm{\overline{A_1B}=3, \; \overline{BC}=6, \; \angle CA_1B=\dfrac{\pi}{2}}$ 인 삼각형 $\mathrm{A_1BC}$ 가 있다. 변 $\mathrm{BC}$ 를 삼등분하는 점 중 점 $\mathrm{B}$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\mathrm{M_1, \; N_1}$ 이라 하고, 삼각형 $\mathrm{A_1BM_1}$ 에 내접하는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 $\mathrm{\overline{A_1C}:\overline{A_1A_2} = 2:1}$ 이고, $\angle \mathrm{A_1A_2C}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 삼각형 $\mathrm{A_1A_2C}..

수열 $\{a_n\}$ 의 일반항이 $$a_n = \left (\dfrac{x^2-4x}{5} \right )^n$$ 일 때, 수열 $\{a_n\}$ 이 수렴하도록 하는 모든 정수 $x$ 의 개수는? ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ $10$ ⑤ $11$ 더보기 정답 ①

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1}=a_1 a_n$$ 을 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3a_{n+3}-5}{2a_n+1}=12$ 일 때, $a_1$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ④

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$2n^2-3

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{a_k}{(k-1)!} = \dfrac{3}{(n+2)!}$$ 을 만족시킨다. $\lim \limits_{n \to \infty} \left (a_1 + n^2 a_n \right )$ 의 값은? ① $-\dfrac{7}{2}$ ② $-3$ ③ $-\dfrac{5}{2}$ ④ $-2$ ⑤ $-\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ③