도형과 등비급수_난이도 중 (2021년 11월 광주교육청 고3 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 $\mathrm{\overline{A_1B}=3, \; \overline{BC}=6, \; \angle CA_1B=\dfrac{\pi}{2}}$ 인 삼각형 $\mathrm{A_1BC}$ 가 있다. 변 $\mathrm{BC}$ 를 삼등분하는 점 중 점 $\mathrm{B}$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\mathrm{M_1, \; N_1}$ 이라 하고, 삼각형 $\mathrm{A_1BM_1}$ 에 내접하는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 $\mathrm{\overline{A_1C}:\overline{A_1A_2} = 2:1}$ 이고, $\angle \mathrm{A_1A_2C}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 삼각형 $\mathrm{A_1A_2C}$ 를 그린다. 변 $\mathrm{A_1C}$ 를 삼등분하는 점 중 점 $\mathrm{A_1}$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\mathrm{M_2, \; N_2}$ 라 하고, 삼각형 $\mathrm{A_1A_2M_2}$ 에 내접하는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{6\left (14-5\sqrt{7} \right )}{9}\pi$          ② $\dfrac{7\left (14-5\sqrt{7} \right )}{9}\pi$          ③ $\dfrac{2\left (16-5\sqrt{7} \right )}{3}\pi$ 

         

④ $\dfrac{7\left (16-5\sqrt{7} \right )}{9}\pi$          ⑤ $\dfrac{7\left (18-5\sqrt{7} \right )}{9}\pi$

 

정답 ③