수악중독

타원 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2a^2}=1$ 위의 점 $(2, \; a)$ 에서의 접선의 기울기가 $-3$ 일 때, $a$ 의 값은? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $6$          ② $7$          ③ $8$          ④ $9$          ⑤ $10$ 더보기정답 ①

점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하고 직선 $l$ 을 준선으로 하는 포물선이 있다. 이 포물선 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 준선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{FH}$ 가 이 포물선과 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 와 직선 $l$ 사이의 거리가 $4$ 이고 $\overline{\mathrm{HA}}:\overline{\mathrm{AF}}=3:1$ 일 때, 선분 $\mathrm{PH}$ 의 길이는? ① $15$          ② $18$          ③ $21$          ④ $24$          ⑤ $27$  더보기정답 ②

두 양수 $a, \; c$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)$ 을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 이 있다. 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 이 서로 수직이 되도록 하는 이 쌍곡선 위의 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$, $\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{a}{3}$ 인 선분 $\mathrm{PF'}$ 위의 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 직선 $\mathrm{QF}$ 와 $y$ 축이 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{A}$ 에서 두 직선 $\mathrm{PF, \; PF'}$ 에 내린 ..

타원 $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\left ( 3, \; \sqrt{5} \right )$ 에서의 접선의 $y$ 절편은? (단, $b$ 는 양수이다.) ① $\dfrac{3}{2}\sqrt{5}$          ② $2\sqrt{5}$          ③ $\dfrac{5}{2}\sqrt{5}$          ④ $3\sqrt{5}$          ⑤ $\dfrac{7}{2}\sqrt{5}$ 더보기정답 ②

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 한 초점 $\mathrm{F}(c, \; 0) \; (c>0)$ 을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 $y=x$ 이고 $\overline{\mathrm{PQ}}=8$ 일 때, $a^2+b^2+c^2$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 양수이다.) ① $56$          ② $60$          ③ $64$          ④ $68$          ⑤ $72$ 더보기정답 ③

그림과 같이 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 네 변의 중점 $\mathrm{P, \; Q, \; R, \; S}$ 를 꼭짓점으로 하는 타원의 두 초점을 $\mathrm{F, \; F'}$ 이라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 를 초점, 직선 $\mathrm{AB}$ 를 준선으로 하는 포물선이 세 점 $\mathrm{F', \; Q, \; S}$ 를 지난다. 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 넓이가 $32\sqrt{2}$ 일 때, 선분 $\mathrm{FF'}$ 의 길이는? ① $\dfrac{7}{6}\sqrt{3}$          ② $\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$          ③ $\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$          ④ $\dfrac{5}{3}\sqr..

좌표평면에 곡선 $\left |y^2-1 \right | = \dfrac{x^2}{a^2}$ 과 네 점 $\mathrm{A}(0, \; c+1)$, $\mathrm{B}(0, \; -c-1), \; \mathrm{C}(c, \; 0)$, $\mathrm{D}(-c, \; 0)$ 이 있다. 곡선 위의 점 중 $y$ 좌표의 절댓값이 $1$ 보다 작거나 같은 모든 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PC}}+\overline{\mathrm{PD}}=\sqrt{5}$ 이다. 곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$ 가 제$1$사분면에 있고 $\overline{\mathrm{AQ}}=10$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABQ}$ 의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $a$ 와 $..

그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2=8x$ 와 이 포물선 위의 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 가 있다. 점 $\mathrm{P}$ 를 초점으로 하고 준선이 $x=k$ 인 포물선 중 점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 포물선을 $C$ 라 하자. 포물선 $y^2=8x$ 와 포물선 $C$ 가 만나는 두 점을 $\mathrm{Q, \; R}$ 이라 할 때, 사각형 $\mathrm{PRFQ}$ 의 둘레의 길이는 $18$ 이다. 삼각형 $\mathrm{OFP}$ 의 넓이를 $S$ 라 할 때, $S^2$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 점 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표보다 크고, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.  더보기정답 $24$

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0)$, $\mathrm{F'}(-c, \; 0)\; (c>0)$ 인 타원 $E_1$ 이 있다. 타원 $E_1$ 의 꼭짓점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 두 점 $\mathrm{A, \; F}$ 를 초점으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 타원을 $E_2$ 라 하자. 두 타원 $E_1, \; E_2$ 의 교점 중 $y$ 좌표가 양수인 점 $\mathrm{B}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{BF'}}-\overline{\mathrm{BA}}=\dfrac{1}{5}\overline{\mathrm{AF'}}$ 이 성립한다. 타원 $E_2$ 의 단축의 길이가 $4\sqrt{3}$ 일 때, $30..

점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하는 포물선 $y^2=4x$ 가 있다. 다음 조건을 만족시키는 포물선 $y^2=4x$ 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{QF}}+\overline{\mathrm{RF}}$ 의 값은? 점 $\mathrm{P}$ 와 직선 $y=x-2$ 사이의 거리를 $k$ 라 할 때, 이 직선으로부터의 거리가 $k$ 가 되도록 하는 포물선 $y^2=4x$ 위의 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점은 $\mathrm{Q, \; R}$ 뿐이다. ① $17$          ② $\dfrac{35}{2}$          ③ $18$          ④ $\dfrac..