수악중독

양수 $p$ 에 대하여 좌표평면 위에 초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2=4px$ 가 있다. 이 포물선이 세 직선 $x=p, \; x=2p, \; x=3p$ 와 만나는 제$1$사분면 위의 점을 각각 $\mathrm{P_1, \; P_2, \; P_3}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{FP_1}} +\overline{\mathrm{FP_2}}+\overline{\mathrm{FP_3}}=27$ 일 때, $p$ 의 값은? ① $2$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ③

한 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0) \; (c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$ 과 중심의 좌표가 $(2, \; 3)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원이 있다. 타원 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 원 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}}$ 의 최솟값이 $6$ 일 때, $r$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $17$ 그냥 세 점 $\mathrm{F', \; P, \; Q}$ 만 한 직선 위에 있으면 되는 것이 아니냐고 질문을 하는 학생들이 있습니다. 즉, $r$ 가 $17$ 보다 작은 경우에도 세 점 $\mathrm{F', \; P, \; Q}..

타원 $\dfrac{x^2}{32}+\dfrac{y^2}{8}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $(a, \; b)$ 에서의 접선이 점 $(8, \; 0)$ 을 지날 때, $a+b$ 의 값은? ① $5$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{13}{2}$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③

포물선 $y^2=4px\; (p \gt 0)$ 의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 직선이 포물선과 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만날 때, 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BD}}=2:1$ 이고 사각형 $\mathrm{ACDB}$ 의 넓이가 $12\sqrt{2}$ 일 때, 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이는? (단, 점 $\mathrm{A}$ 는 제$1$사분면에 있다.) ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c \gt 0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 과 점 $\mathrm{A}(0, \; 6)$ 을 중심으로 하고 두 초점을 지나는 원이 있다. 원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 와 두 직선 $\mathrm{PF', \; AF}$ 가 만나는 점 $\mathrm{Q}$ 가 $$\overline{\mathrm{PF}}:\overline{\mathrm{PF'}}=3:4, \quad \angle \mathrm{F'QF}=\dfrac{\pi}{2}$$ 를 만족시킬 때, $b^2-a^2$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는..

두 초점이 $\mathrm{F}(12, \; 0), \; \mathrm{F'}(-4, \; 0)$ 이고, 장축의 길이가 $24$ 인 타원 $C$ 가 있다. $\mathrm{\overline{F'F}=\overline{F'P}}$ 인 타원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{F'P}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 한 초점이 $\mathrm{F'}$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 점 $\mathrm{Q}$ 를 지날 때, $\overline{\mathrm{PF}}+a^2+b^2$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 양수이다.) ① $46$ ② $52$ ③ $58$ ④ $64$ ⑤ $70$ 더보기 정답 ④

포물선 $(y-2)^2=8(x+2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 점 $\mathrm{A}(0, \; 2)$ 에 대하여 $\mathrm{\overline{OP}+\overline{PA}}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P_0}$ 이라 하자. $\mathrm{\overline{OQ}+\overline{QA}=\overline{OP_0}+\overline{P_0A}}$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 점 $\mathrm{Q}$ 의 $y$ 좌표의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M^2+m^2$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보..

두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 두 쌍곡선 $$C_1:x^2 - \dfrac{y^2}{24}=1, \quad C_2 : \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{21}=1$$ 이 있다. 쌍곡선 $C_1$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{PF'}$ 이 쌍곡선 $C_2$ 와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\mathrm{\overline{PQ}+\overline{QF}, \; 2\overline{PF'}, \; \overline{PF}+\overline{PF'}}$ 이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 $\mathrm{PQ}$ 의..

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{8}=1$ 이 한 점근선의 방정식이 $y=\sqrt{2}x$ 일 때, 이 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $4\sqrt{2}$ ② $6$ ③ $2\sqrt{10}$ ④ $2\sqrt{11}$ ⑤ $4\sqrt{3}$ 더보기 정답 ⑤

그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{15}=1$ 의 두 초점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{F}$ 라 하고, 타원 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{OF}}=\overline{\mathrm{FQ}}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ⑤