수악중독

두 초점이 $\mathrm{F}(12, \; 0), \; \mathrm{F'}(-4, \; 0)$ 이고, 장축의 길이가 $24$ 인 타원 $C$ 가 있다. $\mathrm{\overline{F'F}=\overline{F'P}}$ 인 타원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{F'P}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 한 초점이 $\mathrm{F'}$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 점 $\mathrm{Q}$ 를 지날 때, $\overline{\mathrm{PF}}+a^2+b^2$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 양수이다.) ① $46$ ② $52$ ③ $58$ ④ $64$ ⑤ $70$ 더보기 정답 ④

포물선 $(y-2)^2=8(x+2)$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 점 $\mathrm{A}(0, \; 2)$ 에 대하여 $\mathrm{\overline{OP}+\overline{PA}}$ 의 값이 최소가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 를 $\mathrm{P_0}$ 이라 하자. $\mathrm{\overline{OQ}+\overline{QA}=\overline{OP_0}+\overline{P_0A}}$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 점 $\mathrm{Q}$ 의 $y$ 좌표의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 할 때, $M^2+m^2$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$ 더보..

두 점 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 두 쌍곡선 $$C_1:x^2 - \dfrac{y^2}{24}=1, \quad C_2 : \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{21}=1$$ 이 있다. 쌍곡선 $C_1$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{PF'}$ 이 쌍곡선 $C_2$ 와 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\mathrm{\overline{PQ}+\overline{QF}, \; 2\overline{PF'}, \; \overline{PF}+\overline{PF'}}$ 이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 $\mathrm{PQ}$ 의..

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{8}=1$ 이 한 점근선의 방정식이 $y=\sqrt{2}x$ 일 때, 이 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $4\sqrt{2}$ ② $6$ ③ $2\sqrt{10}$ ④ $2\sqrt{11}$ ⑤ $4\sqrt{3}$ 더보기 정답 ⑤

그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{15}=1$ 의 두 초점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{F}$ 라 하고, 타원 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{OF}}=\overline{\mathrm{FQ}}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{POQ}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ⑤

두 초점이 $\mathrm{F} \left (3\sqrt{3}, \; 0 \right ), \; \mathrm{F'}\left (-3\sqrt{3}, \; 0 \right )$ 인 쌍곡선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{PF'}$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{PQF}$ 가 정삼각형일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}(5, \; 0), \; \mathrm{F'}(-5, \; 0)$ 을 초점으로 하는 타원이 $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 점 $\mathrm{F}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점 $\mathrm{P}$ 와 타원 위의 점 중 제$2$사분면에 있는 점 $\mathrm{Q}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\mathrm{PF'}$ 은 원 $C$ 에 접한다. (나) 두 직선 $\mathrm{PF', \; QF'}$ 은 서로 수직이다. $\overline{\mathrm{QF'}}=\dfrac{3}{2}\ove..

초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $C:y^2=4x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{PF}$ 를 지름으로 하는 원을 $O$ 라 할 때, 원 $O$ 는 포물선 $C$ 와 서로 다른 두 점에서 만난다. 원 $O$ 가 포물선 $C$ 와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$, 점 $\mathrm{P}$ 에서 포물선 $C$ 의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{QHP}=\alpha, \; \angle \mathrm{HPQ}=\beta$ 라 할 때, $\dfrac{\tan \beta}{\tan \alpha}=3$ 이다. $\dfrac{\overline{\m..

그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{27}=1$ 위의 점 $\mathrm{P} \left (\dfrac{9}{2}, \; k \right ) \; (k>0)$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 을 초점으로 하고 점 $\mathrm{Q}$ 를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선이 선분 $\mathrm{PF'}$ 와 만나는 두 점을 $\mathrm{R, \; S}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{RS}} + \overline{\mathrm{SF}}=\overline{\m..

포물선 $x^2=8y$ 의 초점과 준선 사이의 거리는? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 더보기 정답 ①