수악중독

좌표공간 위에 방정식 \[x^2+(y-3)^2=1 \;\;(z\; 는\; 실수)\] 가 나타내는 도형을 \(S\) 라 하자. 도형 \(S\) 와 \(xy\) 평면이 만나서 생기는 도형을 \(C_1\), 도형 \(S\) 와 평면 \(3y-4z=0\) 이 만나서 생기는 도형을 \(C_2\) 라 하자. 두 도형 \(C_1, \;C_2\) 의 중심을 각각 \(\rm O_1, \; O_2\) 라 하고 도형 \(C_1, \; C_2\) 위의 임의의 점을 각각 \(\rm P, \;Q\) 라 하자. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 가 내적 \(\overrightarrow{\rm O_1P} \cdot \overrightarrow{\rm O_2Q}=\dfrac{1}{2}\) 을 만족할 때, 선분 \(\rm PQ\) 의 ..

그림과 같이 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 밑면의 지름으로 하는 반구가 벽면에 접하면서 고정되어 있다. 햇빛이 벽면과 \(30^{\rm o}\) 의 각을 이루고 지름 \(\rm AB\) 에 수직으로 비칠 때, 벽면에 생기는 반구의 그림자의 넓이는? (단, 반구의 밑변은 벽면과 평행하고, 반구의 그림자는 모두 벽면에만 생긴다.) ① \(4\pi\) ② \(\left ( 2+2\sqrt{3} \right ) \pi\) ③ \(4\sqrt{2}\pi\) ④ \(6\pi\) ⑤ \(\left ( 2+4\sqrt{3} \right ) \pi\) 정답 ④

그림과 같이 투명한 유리판 위에 \(\overline{\rm AB}=2\sqrt{3}\), \(\overline{\rm BC}=6\) 인 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양의 종이가 놓여 있고, 점 \(\rm O\) 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(2\) 인 원판이 유리판과 한 점 \(\rm M\) 에서 만나고 있다. \(\rm M\) 은 선분 \(\rm AB\) 의 중점이고, \(\overline{\rm AB} \perp \overline{\rm OM}\) 이다. 두 점 \(\rm C, \;D\) 의 중점을 \(\rm N\) 이라 할 때, \(\angle \rm OMN=60^{\rm o}\) 이다. 태양광선이 원판을 포함하는 평면에 수직인 방향으로 비출 때, 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양..

직선 \(l\) 을 교선으로 하는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 있다. 그림과 같이 평면 \(\alpha\) 위에 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}=1\) 이고, 변 \(\rm BC\) 는 직선 \(l\) 과 평행한 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 세 점 \(\rm A, \;B,\;C\) 에서 평면 \(\beta\) 에 내린 수선의 발을 각각 \(\rm D, \;E,\;F\) 라 하면 다음이 성립한다. (가) 직선 \(\rm DF\) 는 직선 \(l\) 과 수직이다. (나) 삼각형 \(\rm DEF\) 의 넓이는 \(\dfrac{1}{3}\) 이다. 두 직선 \(\rm AB, \;DE\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때,..

그림과 같이 한 변의 길이가 \(8\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 를 평면 \(\alpha\) 에 정사영 시킨 도형은 \(\overline{\rm A'B'}=\overline{\rm A'C'}=7\) 인 삼각형 \(\rm A'B'C'\) 이다. 평면 \(\rm ABC\) 와 평면 \(\alpha\) 가 이루는 각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta\) 의 값은? (단, 삼각형 \(\rm ABC\) 의 세 변은 어느 것도 평면 \(\alpha\) 와 평행하지 않다.) ① \(\dfrac{1}{6}\) ② \(\dfrac{1}{5}\) ③ \(\dfrac{1}{4}\) ④ \(\dfrac{1}{3}\) ⑤ \(\dfrac{1}{2}\) 정답 ③

서로 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이루는 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 가 만나서 생기는 교선을 \(l\) 이라 하자. \(\alpha\) 위의 점 \(\rm F\) 와 \(\beta\) 위의 점 \(\rm F'\) 에 대하여 \(\rm F\) 를 초점으로 하고 \(l\) 을 준선으로 하는 포물선을 \(p_1\) , \(\rm F'\) 를 초점으로 하고 \(l\) 을 준선으로 하는 포물선을 \(p_2\) 라 하자. 두 점 \(\rm F, \;F'\) 과 \(p_1\) 위의 점 \(\rm A\), \(p_2\) 위의 점 \(\rm B\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, 사각형 \(\rm ABF'F\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. \( \left (단,..

그림과 같이 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 의 평면 \(\rm ABCD\) 를 \(\alpha\), 평면 \(\rm CDHG\) 를 \(\beta\) , 평면 \(\rm CDEF\) 를 \(\gamma\) 라 하자. 또 두 평면 \(\alpha, \; \beta\) 위에 있는 한 변의 길이가 \(6\) 인 정사각형을 각각 \(S, \;T\) 라 하자. 정사각형 \(\rm S\) 를 평면 \(\gamma\) 위로 정사영시킨 도형을 \(\rm S_{\gamma}\), 도형 \(\rm S_{\gamma}\) 를 평면 \(\beta\) 로 정사영시킨 도형을 \(\rm S_{\beta}\) 라 하고, 정사각형 \(\rm T\) 를 평면 \( \gamma\) 위로 정사영시킨 도형을 \(\rm T_{\ga..

그림과 같이 \(\overline{\rm AB}=9,\; \overline{\rm AD}=4\) 인 직사각형 \(\rm ABCD\) 모양의 종이가 있다. 선분 \(\rm AB\) 위에 \(\overline{\rm AE}=4\) 인 점 \(\rm E\), 선분 \(\rm DC\) 위에 \(\overline{\rm DF=5}\) 인 점 \(\rm F\) 를 잡고, 두 점 \(\rm E, \;F\) 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 두 반평면 \(\rm AEFD\) 와 \(\rm EBCF\) 가 이루는 각의 크기가 \(60^{\rm o}\) 가 되도록 접었다. 이 접은 도형의 점 \(\rm B\) 에서 평면 \(\rm AEFD\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm B'\) 이라 하고, 점 \(\rm B' \)..

그림과 같이 정삼각형 \(\rm ABC\) 의 변 \(\rm BC\) 의 연장선에 \(\angle \rm BAM= \angle \rm CAN = 45^{\rm o}\) 가 되도록 두 점 \(\rm M, \;N\) 을 잡아 이등변삼각형 \(\rm AMN\) 을 그리고, 두 선분 \(\rm AB\) 와 \(\rm AC\) 를 접는 선으로 하여 두 점 \(\rm M,\;N\) 이 합쳐지도록 삼각형 \(\rm AMN\) 을 접어서 입체를 만든다. 두 점 \(\rm M, \;N\) 이 합쳐지는 점을 \(\rm D\) 라 할 때, 네 점 \(\rm A, \;B,\;C,\;D\) 를 꼭짓점으로 하는 사면체 \(\rm DABC\) 에 대하여 평면 \(\rm DAB\) 와 평면 \(\rm ABC\) 가 이루는 이면각의 ..

평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 세 점 \(\rm A, \;B,\;C\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영 \(\rm P,\;Q,\;R\) 와 선분 \(\rm PQ\) 위의 점 \(\rm X\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\angle \rm XPR=\angle XRP, \;\; \overline{\rm BC} \parallel \alpha\) (나) \(\overline{\rm BX}=\overline{\rm CX},\; \overline{\rm BC}=2\) (다) \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AP}=\overline{\rm PQ}=4\) 두 점 \(\rm B,\;P\) 를 포함하고 직선 \(\rm RX\) 와 평행한 평면과 세 점 \(\r..