일 | 월 | 화 | 수 | 목 | 금 | 토 |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | |||
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
- 수학질문
- 이정근
- 중복조합
- 행렬
- 도형과 무한등비급수
- 심화미적
- 미분
- 수학질문답변
- 함수의 극한
- 수만휘 교과서
- 기하와 벡터
- 수학1
- 수학2
- 함수의 연속
- 미적분과 통계기본
- 경우의 수
- 수악중독
- 확률
- 적분
- 수능저격
- 수열
- 행렬과 그래프
- 수열의 극한
- 적분과 통계
- 접선의 방정식
- 로그함수의 그래프
- 함수의 그래프와 미분
- 여러 가지 수열
- 이차곡선
- 정적분
- Today
- Total
목록(9차) 기하와 벡터 문제 풀이 (323)
수악중독
그림과 같이 태양광선이 평면 \(\alpha\) 에 수직인 방향으로 비출 때, 원뿔의 밑면에 의해 평면 \(\alpha\) 에 생기는 그림자의 넓이는? ① \(\dfrac{\pi}{12}\) ② \(\dfrac{\pi}{8}\) ③ \(\dfrac{\pi}{4}\) ④ \(\dfrac{\pi}{24}\) ⑤ \(\dfrac{\pi}{3}\) ⑤ 정답 ⑤
좌표공간에서 구 \(S\;:\;(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4\) 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2+y^2+z^2=16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b\sqrt{3} \right ) \pi\) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 자연수이다.) 정답 \(13\) \(\therefore a+b=13\)
\(x\) 축을 교선으로 갖는 두 평면이 구 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=4\) 위의 두 점 \(\rm A,\;B\) 에서 접한다. 구의 중심을 \(\rm C,\; \triangle CAB\) 의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(10S\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\) 위의 풀이를 보시면 아시겠지만 이 문제는 yz 평면에 정사영 시켜서 풀어도 됩니다. 즉, y축과 z축으로 이루어진 2차원 평면위에서 생각해도 삼각형 ABC 의 넓이에는 변화가 없음을 이용하는 것이지요. 이렇게 생각한다면 다음과 같은 풀이도 가능하게 됩니다.
그림과 같이 밑면의 반질므의 길이가 \(5\) 인 원기둥이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원기둥의 내부에 중심이 점 \(\rm A\) 이고 반지름의 길이가 \(3\) 인 구 \(S_1\) 이 원기둥의 밑면과 옆면에 내접하며 놓여있다. 평면 \(\alpha\) 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\rm O\) 라 할 때, 중심이 \(\rm B\) 이고 반지름의 길이가 \(2\) 인 구 \(S_2\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 구 \(S_2\) 는 원기둥과 구 \(S_1\) 에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\rm A, \;B\) 의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\rm A', \; B'\) 일 때, \(\angle \rm A'OB'=120^{\rm o}\) 이다..
그림과 같이 태양광선이 지면과 \(60^{\rm o}\) 의 각을 이루면서 비추고 있다. 한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 \(1\) 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고, 태양광선과 \(30^{\rm o}\) 의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 \(S\) 라 하자. \(S\) 의 값을 \(\dfrac{\sqrt{3}(a+b\pi)}{3}\) 라 할 때, \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a, \;b\) 는 정수이고 판의 두께는 무시한다.) 정답 \(30\)
그림과 같이 \(\overline{\rm EF}=3, \; \overline{\rm FG}=2\) 이고, 투명한 직육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 안에 반지름의 길이가 \(1\) 인 두 구 \(P, \;Q\) 가 들어 있다. 구 \(P\) 는 평면 \(\rm AEHD, \; EFGH\) 와 접하고, 구 \(Q\) 는 평면 \(\rm BFGC\) 와 접하고, 두 구는 외접하고 있다. 태양광선이 평면 \(\rm EFGH\) 와 \(30^{\rm o}\) 를 이루면서 두 구 \(P, \;Q\) 를 비춘다고 할 때, 지면에 두 구에 의해 생긴 그림자의 넓이가 \(a\pi+b\sqrt{3}\) 이다. 두 유리수 \(a, \;b\) 에 대하여 \(30(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, 태양광선은 평면 ..
넓이가 \(90\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 내부의 한 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(5 \overrightarrow{\rm PA}+2 \overrightarrow{\rm PB}+2 \overrightarrow{\rm PC} = \overrightarrow{0}\) 일 때, \(\triangle \rm PAB\) 의 넓이는? ① \(5\) ② \(10\) ③ \(15\) ④ \(20\) ⑤ \(25\) 정답 ④
그림과 같은 정육면체 \(\rm ABCD-EFGH\) 에서 모서리 \(\rm BF\) 를 \(2:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm I\) , 모서리 \(\rm DH\) 를 \(1:2\) 로 내분하는 점을 \(\rm J\) 라 하자. 면 \(\rm IGJ\)와 밑면 \(\rm EFGH\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{14}\) 이다. 이때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(17\)
그림과 같이 두 초점 \(\rm F, \;F'\) 이 \(x\) 축 위에 있는 타원 \( \dfrac{x^2}{49}+\dfrac{y^2}{a}=1\) 위의 점 \(\rm P\) 가 \(\overline{\rm FP}=9\) 를 만족시킨다. 점 \(\rm F\) 에서 선분 \(\rm PF'\) 에 내린 수선의 발 \(\rm H\) 에 대하여 \(\overline{\rm FH}=6\sqrt{2}\) 일 때, 상수 \(a\) 의 값은? ① \(29\) ② \(30\) ③ \(31\) ④ \(32\) ⑤ \(33\) 정답 ②
좌표평면에서 포물선 \(C_1 : x^2=4y\) 의 초점을 \(\rm F_1\), 포물선 \(C_2 : y^2=8x\) 의 초점을 \(\rm F_2\) 라 하자. 점 \(\rm P\) 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 중심이 \(C_1\) 위에 있고, 점 \(\rm F_1\) 을 지나는 원과 중심이 \(C_2\) 위에 있고, 점 \(\rm F_2\) 를 지나는 원의 교점이다. (나) 제\(3\)사분면에 있는 점이다. 원점 \(\rm O\) 에 대하여 \(\overline{\rm OP}^2\) 의 최댓값을 구하시오. 정답 \(5\)